Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số không âm thì 2(a ³ +b ³+c ³) $\geq$ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) 24/10/2021 Bởi Harper Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số không âm thì 2(a ³ +b ³+c ³) $\geq$ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
Ta chứng minh với $x,y$ không âm thì : $x^3+y^3 ≥ xy.(x+y)$ Thật vậy ta có : $x^3+y^3 ≥xy.(x+y)$ $⇔x^3-x^2y+y^2-xy^2 ≥ 0 $ $⇔x^2.(x-y) – y^2.(x-y) ≥ 0 $ $⇔(x-y).(x^2-y^2) ≥ 0 $ $⇔(x-y)^2.(x+y) ≥ 0 $ ( luôn đúng ) Dấu “=” xảy ra $⇔x=y$ Áp dụng vào bài toán có : $a^3+b^3 ≥ ab.(a+b)$ $b^3+c^3 ≥ bc.(b+c)$ $c^3+a^3 ≥ ca.(c+a)$ $\to 2.(a^3+b^3+c^3) ≥ ab.(a+b)+bc.(b+c)+ca.(c+a)$ Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c$ Bình luận
Ta chứng minh với $x,y$ không âm thì : $x^3+y^3 ≥ xy.(x+y)$
Thật vậy ta có :
$x^3+y^3 ≥xy.(x+y)$
$⇔x^3-x^2y+y^2-xy^2 ≥ 0 $
$⇔x^2.(x-y) – y^2.(x-y) ≥ 0 $
$⇔(x-y).(x^2-y^2) ≥ 0 $
$⇔(x-y)^2.(x+y) ≥ 0 $ ( luôn đúng )
Dấu “=” xảy ra $⇔x=y$
Áp dụng vào bài toán có :
$a^3+b^3 ≥ ab.(a+b)$
$b^3+c^3 ≥ bc.(b+c)$
$c^3+a^3 ≥ ca.(c+a)$
$\to 2.(a^3+b^3+c^3) ≥ ab.(a+b)+bc.(b+c)+ca.(c+a)$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c$
Đáp án:
Giải thích các bước giải: