Chứng minh rằng nếu $a\in \mathbb{Z},\text{p là số nguyên tố}$ thì: $a^p ≡a\text{(mod p)}$

0 bình luận về “Chứng minh rằng nếu $a\in \mathbb{Z},\text{p là số nguyên tố}$ thì: $a^p ≡a\text{(mod p)}$”

1. Giải thích các bước giải:

   Thêm điều kiện $(a,p)=1$

   Xét dãy số $a,2a,3a, 4a, …, (p-1)a$

   Trường hợp $1:$ Tồn tại $2$ số có cùng số dư khi chia cho $p$ là $ma$ và $na, (0<m<n<p, m,n\in N)$

   $\to ma-na\quad\vdots\quad p$

   $\to a(m-n)\quad\vdots\quad p$

   Mà $0<m-n<p$

   $\to m-n\quad\not\vdots\quad p$

   $\to a\quad\vdots\quad p$ loại vì $(a,p)=1$

   Trường hợp $2:$ Không tồn tại $2$ số có cùng số dư khi chia cho $p$

   $\to a,2a,3a,…,(p-1)a$ chia $p$ có số dư là : $1,2,3,.., p-1$

   $\to a.2a.3a….(p-1)a\equiv 1.2.3…(p-1)(mod p)$

   $\to (p-1)!\cdot a^{p-1}\equiv (p-1)!(mod p)$

   $\to a^{p-1}\equiv 1(mod p)$

   $\to a^{p-1}\cdot a\equiv a(mod p)$

   $\to a^{p}\equiv a(mod p)$

   $\to đpcm$

   Bình luận