chứng minh rằng nếu n+1 và 2n+1 đều nà số chính phương thì n chia hết cho 24 n thuộc N

Bởi

chứng minh rằng nếu n+1 và 2n+1 đều nà số chính phương thì n chia hết cho 24 n thuộc N

0 bình luận về “chứng minh rằng nếu n+1 và 2n+1 đều nà số chính phương thì n chia hết cho 24 n thuộc N”

  2. Giải thích các bước giải:

    Đầu tiên ta chứng minh một số chính phương a chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

    Thật vậy

    Nếu \(a=(3k)^2=9k^2\) thì a chia 3 dư 0

    Nếu \(a=(3k+1)^2=9k^2+6k+1\) thì a chia cho 3 dư 1

    Nếu \(a=(3k+2)^2=9k^2+12k+4\) thì a chia cho 3 dư 1

    Nên một số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

    Trở lại bài toán ta có:

     Vì \(n+1\),  \(2n+1\) là các số chính phương nên đặt \(n+1=k^2\),  \(2n+1=m^2\) với k, m là các số tự nhiên

    Có \(2n+1\) lẻ nên \(m^2\) lẻ nên m lẻ viết \(m=2a+1\) với  \(a \in N \)

    Thì \(2n+1=(2a+1)^2=4a(a+1)+1\)

    Nên \(n=2a(a+1)\) hay \(n\) chẵn do đó \(n+1\) lẻ

    Đặt \(n+1=(2b+1)^2=4b(b+1)+1\)

    \(n=4b(b+1)\)

    Vì \(b(b+1)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên \(b(b+1)\) chia hết cho 2

    Do vậy \(4b(b+1)\) chia hết cho 8 hay n chia hết cho 8   (1)

    Ta có \(k^2+m^2=3n+2\) chia cho 3 dư 2

    Mà \(k^2\) chia cho 3 dư 0 hoặc 1, \(m^2\) chia cho 3 dư 0 hoặc 1

    Nên để \(k^2+m^2\) chia 3 dư 2 thì \(k^2\) chia 3 dư 1 và \(m^2\) cũng chia 3 dư 1

    Mặt khác \(n=k^2-1\) nên n chia hết cho 3               (2)

    Từ (1), (2) và (3,8)=1 ta có n chia hết cho 24

     

    Bình luận

Viết một bình luận