Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)*(p+1) chia hết cho 24

0 bình luận về “Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)*(p+1) chia hết cho 24”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Do p > 3 ⇒ p không chia hết cho 2 và 3.

   Xét :

   *p không chia hết cho 2.

   ⇒ ( p – 1 ) và ( p + 1 ) là hai số chẵn liên tiếp ⇒ ( p – 1 )( p + 1 ) chia hết cho 8. (1)

   *p không chia hết cho 3.

   – Nếu p = 3k + 1 ⇒ p – 1 = 3k chia hết cho 3 ⇒ ( p – 1 )( p + 1 ) chia hết cho 3.

   – Nếu p = 3k + 2 ⇒ p + 1 = 3k chia hết cho 3 ⇒ ( p – 1 )( p + 1 ) chia hết cho 3. (2)

   Từ (1) và (2) ⇒ ( p – 1 )( p + 1 ) chia hết cho cả 8 và 3. Mà 8 . 3 = 24.

   ⇒ ( p – 1 )( p + 1 ) chia hết cho 24.

   Vậy ( p – 1 ) ( p + 1 ) chia hết cho 24

   Bình luận

2. Lời giải: 

   Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra, p là số lẻ.

   => Hai số p – 1, p + 1 là hai số chẵn liên tiếp

   => (p – 1).(p + 1) ⋮ 8           (1)

   Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k thuộc N*).

   +) Với p = 3k + 1:

   => (p – 1)(p + 1) = 3k.(3k + 2) ⋮ 3 (2a)

   +) Với p = 3k + 2:

   => (p – 1)(p + 1) = (3k – 1).3.(k + 1) ⋮ 3 (2b)

   Từ (2a), (2b) suy ra: (p – 1)(p + 1) ⋮ 3      (2)

   Vì (8, 3) = 1, từ (1) và (2) suy ra: (p – 1)(p + 1) ⋮ 24 (đpcm).

   Bình luận