Chứng minh rằng phương trình sau luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị thực của tham số m : x^3 + (2xm-1)x^2 -(m+2)x-2m=0

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$ x³ + (2m – 1)x² – (m + 2)x – 2m = 0 (*)$

– Khi $ m = 0 ; (*)⇔ x(x + 1)(x – 2) = 0 $

$ ⇒ PT (*) $ có nghiệm $x = – 1; x = 0; x = 2 (TM) (1)$

– Xét $ m \neq 0$. Đặt $: f(x) = x³ + (2m – 1)x² – (m + 2)x – 2m$

Hàm số $y = f(x)$ liên tục với $∀x ∈ R$

Ta có:

$ f(- 1) = (- 1)³ + (2m – 1)(- 1)² – (m – 2)(- 1) – 2m = m$

$ f(0) = 0³ + (2m – 1).0² – (m – 2).0 – 2m = – 2m$

$ f(2) = 2³ + (2m – 1).2² – (m – 2).2 – 2m = 4m$

$ f(- 1).f(0) = – 2m² < 0$

$ ⇒ PT : (*) $ có nghiệm trên đoạn $[- 1; 0] (x \neq – 1; \neq 0)$

$ f(0).f(2) = – 4m² < 0 $

$ ⇒ PT : (*) $ có nghiệm trên đoạn $[0; 2] (x \neq 0; \neq 2)$

$ ⇒ PT : (*) $ luôn có 2 nghiệm trái dấu trên đoạn $[- 1; 2](2)$

$ (1); (2) ⇒ PT : (*) $ luôn có 2 nghiệm trái dấu với $∀m$