Chứng minh rằng $\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$+$\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}$ là số vô tỉ 07/07/2021 Bởi Bella Chứng minh rằng $\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$+$\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}$ là số vô tỉ
Đáp án: Giải thích các bước giải: Đặt: $A=\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}$ $⇔ A^3=3-2\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}.(\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}})$ $⇔ A^3=6+3\sqrt[3]{9-8}.A$ $⇔ A^3=6+3A$ $⇔ A^3-3A-6=0$ Giả sử $A$ là số hữu tỉ Đặt: $A=\dfrac{m}{n}$ với $(m; n)=1$ và $m, n ∈ N*$ Khi đó, `(\frac{m}{n})^3-3.\frac{m}{n}-6=0` `⇔ m^3-3mn^2-6n^3=0` $⇒ m^3 \vdots 3$ $⇒ m \vdots 3$ $⇒ m^3 \vdots 9$ và $3mn^2 \vdots 9$ Từ đó suy ra: $6n^3 \vdots 9$ $⇒ 2n^3 \vdots 3$ $⇒ n^3 \vdots 3$ $⇒ n \vdots 3$ Như vậy $m$ và $n$ đều chia hết cho $3$ (Điều này mâu thuẫn với $(m; n)=1$) Vậy $A$ là số vô tỉ $(đpcm)$ Bình luận
…
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt: $A=\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}$
$⇔ A^3=3-2\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}.(\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}})$
$⇔ A^3=6+3\sqrt[3]{9-8}.A$
$⇔ A^3=6+3A$
$⇔ A^3-3A-6=0$
Giả sử $A$ là số hữu tỉ
Đặt: $A=\dfrac{m}{n}$ với $(m; n)=1$ và $m, n ∈ N*$
Khi đó, `(\frac{m}{n})^3-3.\frac{m}{n}-6=0`
`⇔ m^3-3mn^2-6n^3=0`
$⇒ m^3 \vdots 3$
$⇒ m \vdots 3$
$⇒ m^3 \vdots 9$
và $3mn^2 \vdots 9$
Từ đó suy ra: $6n^3 \vdots 9$
$⇒ 2n^3 \vdots 3$
$⇒ n^3 \vdots 3$
$⇒ n \vdots 3$
Như vậy $m$ và $n$ đều chia hết cho $3$
(Điều này mâu thuẫn với $(m; n)=1$)
Vậy $A$ là số vô tỉ $(đpcm)$