Chứng minh rằng tích của 2 số nguyên liên tiếp là 1 số chính phương thì 1 trong 2 số đó bằng 0

0 bình luận về “Chứng minh rằng tích của 2 số nguyên liên tiếp là 1 số chính phương thì 1 trong 2 số đó bằng 0”

1. Cho $n, k$ là các số tự nhiên. Giả sử ta có

   $n(n+1) = k^2$

   Suy ra

   $k = \sqrt{n(n+1)} = \sqrt{n^2 + n}$

   Với $n$ và $n + 1$ đều khác 0 ta có

   $n < \sqrt{n^2 + n} < n+1$

   Thật vậy, ta có

   $\sqrt{n^2 + n} > \sqrt{n^2} = n$

   Mặt khác, ta có

   $2n + 1 > n$

   $\Leftrightarrow n^2 + 2n + 1 > n^2 + n$

   $\Leftrightarrow (n+1)^2 > n^2 + n$

   $\Leftrightarrow n+1 > \sqrt{n^2 + n}$

   Suy ra

   $n < \sqrt{n^2 + n} < n+1$

   Ta thấy $n$ và $n + 1$ là hai số tự nhiên liên tiếp, suy ra $\sqrt{n^2 + n}$ không là số tự nhiên.

   Vậy với $n$ và $n+1$ khác 0 thì $n^2 + n$ là số chính phương.

   Với $n = 0$ hoặc $n = -1$ thì ta có 

   $n^2 + n = 0 = 0^2$

   hay $k = 0$.

   Bình luận