Chứng minh rằng tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120

0 bình luận về “Chứng minh rằng tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120”

1. Đáp án:

    Bên dưới

   Giải thích các bước giải:

    Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là n;n+1;n+2;n+3;n+4

   Đặt A=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)

   Áp dụng tính chất trong n số tự nhiên liên tiếp thì sẽ có 1 số chia hết cho n

   =>A chia hết cho 5 và A chia hết cho 3

   =>A chia hết cho 5*3

   =>A chia hết cho 15

   Trong 5 số tự nhiên liên tiếp ta luôn có ít nhất 2 số chẵn liên tiếp

   =>Có 2 thừa số là số chẵn

   Giả sử 2 số đó là a=2k và b=2k+2

   Ta có: ab=2k(2k+2)=4k^2+4k=4k(k+1)

   Áp dụng tính chất trong n số tự nhiên liên tiếp thì sẽ có 1 số chia hết cho n

   =>k(k+1) chia hết cho 2

   Vì 4k chia hết cho 4

   =>4k(k+1) chia hết cho 4*2

   =>4k(k+1) chia hết cho 8

   =>A chia hết cho 8

   Vì A chia hết cho 15

   =>A chia hết 8*15

   =>A chia hết 120(đpcm)

   Vậy…

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:

    Gọi dạng của 5 số tự nhiên liên tiếp là: $x;x+1;x+2;x+3;x+4$

   Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp là: $x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

   Ta có:

   Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho

   $2⇒x(x+1)\vdots2$

   Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho

   $3⇒x(x+1)(x+2)\vdots3$

   Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho

   $4⇒x(x+1)(x+2)(x+3)\vdots4$

   Tích của năm số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho

   $5⇒x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\vdots5$

   Giả sử:

   +) $x$ là số lẻ

   $⇒x+1;x+3$ là số chẵn 

   Mà tích của hai số chẵn luôn chia hết cho $8$

   $⇒(x+1)(x+3)\vdots8$

   +) $x$ là số chẵn

   $⇒x;x+2;x+4$ là số chẵn

   Mà tích của hai hay nhiều số chẵn luôn chia hết cho $8$

   $⇒x(x+2)(x+4)\vdots8$

   $⇒$ Dù $x$ là số chẵn hay số lẻ thì $x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\vdots8$

   Mà $3.5.8=120$

   $⇒x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\vdots120$

   Vậy năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho $120\text{(đpcm)}$

   Giải thích:

   Một số bất kì chia hết cho $2$ hay nhiều số tự nhiên khác nhau thì sẽ chia hết cho tích của hai hay nhiều số đó

   Bình luận