Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là số chính phương

0 bình luận về “Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là số chính phương”

1. $\text{Gọi bốn số tự nhiên liếp là a,a+1,a+2,a+3}$

   $\text{Xét S=a(a+1)(a+2)(a+3)+1}$

   $\text{=a(a+3)(a+1)(a+2)+1}$

   $\text{=(a²+3a)(a²+3a+2)+1}$

   $\text{=(a²+3a)[(a²+3a)+2]+1}$

   $\text{=(a²+3a)²+2(a²+3a)+1}$

   $\text{=(a²+3a+1)²}$

   $\text{Mà a ∈ N}$

   $\text{⇒(a²+3a+1)² là số chính phương}$

   $\text{⇒S là số chính phương}$

   $\text{Vậy tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là số chính phương}$

   Bình luận

2. Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp lần lượt là `x ; x + 1 ; x + 2 ; x + 3 (x \in N)` và tích của chúng là `A`

   Khi đó, tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với `1` là :

   `A = x . (x+1) . (x+2) . (x+3) + 1`

   ` = [ x . (x+3) ] . [ (x+1) . (x+2) ] +1`

   ` = (x^2 + 3x) . (x^2 + 3x + 2) + 1`

   Đặt `x^2 + 3x = t`

   Khi đó ta có :

   `A = t . (t+2) + 1`

   ` = t^2 + 2t + 1`

   ` = (t + 1)^2`

   Mà `t = x^2 + 3x` nên ta có :

   `A = (x^2 + 3x + 1)^2`

   Mà `x \in N` nên `A \in N`

   Do đó, `A` là số chính phương.

   Vậy  tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm `1` luôn là số chính phương.

    

   Bình luận