Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số nguyên tố.

0 bình luận về “Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số nguyên tố.”

1. Định lý Eculid: Tập hợp số nguyên tố là vô hạn

   Chứng minh: Giả sử có hữu hạn số nguyên tố là `p_1,p_2,…,p_n`

   Xét `A=p_1p_2….p_n+1` thì A không trùng với số nào trong các `p_1,p_2,…,p_n` nên `A` là hợp số

   Do đó `A` có ước nguyên tố là `p`

   Vì chỉ có hữu hạn số nguyên tố là `p_1,p_2,…,p_n` nên `p∈{p_1,p_2,…,p_n}`

   Như vậy

   `A\vdotsp`

   `p_1p_2…p_n\vdotsp`

   `→1\vdotsp` (vô lý)

    

   Bình luận

2. Giả sử phản chứng rằng có hữu hạn số nguyên tố, cụ thể là các số nguyên tố $p_1, p_2, \dots, p_n$.

   Tiếp theo, ta sẽ xây dựng một số nguyên tố mới từ các số nguyên tố đã có.

   Ta chọn

   $P = p_1 . p_2 . \dots . p_n + 1$

   Ta thấy rằng $P$ chia cho $p_1, \dots, p_n$ đều dư $1$.

   Do đó $P$ là một số nguyên tố nếu $P \neq 1$.

   Tuy nhiên, do các số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 2, nên tập hợp $p_i$ là ko rỗng. Suy ra $P$ lớn hơn 1 và từ đó $P$ có ít nhất 2 ước là $1$ và $P$.

   Từ định nghĩa của $P$ ta cũng có thể thấy rằng $P$ lớn hơn mọi số nguyên tố $p_1, \dots, p_n$. Điều này mâu thuẫn với việc có hữu hạn số nguyên tố.

   Vậy có vô hạn số nguyên tố.

   Bình luận