Chứng minh rằng trong hình thoi, tích 2 đường chéo $\leq$ bình phương độ dài 1 cạnh Cảm ơn 13/11/2021 Bởi Rylee Chứng minh rằng trong hình thoi, tích 2 đường chéo $\leq$ bình phương độ dài 1 cạnh Cảm ơn
Xét hình thoi $ABCD$ có $AC\cap BD =\{O\}$ $\to AC = 2AO;\, BD = 2BO$ Ta được: $AC.BD $ $= 2AO.2BO$ $=4AO.BO \leq 4\cdot\dfrac{AO^2 + BO^2}{2}= 2(AO^2 + BO^2)$ mà $AC\perp BD$ nên $AO^2 + BO^2 = AB^2$ (định lý Pytago) Do đó: $AC.BD \leq 2AB^2$ Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow AO = BO \Leftrightarrow AC = BD$ $\Leftrightarrow ABCD$ là hình vuông Bình luận
Xét hình thoi $ABCD$ có $AC\cap BD =\{O\}$
$\to AC = 2AO;\, BD = 2BO$
Ta được:
$AC.BD $
$= 2AO.2BO$
$=4AO.BO \leq 4\cdot\dfrac{AO^2 + BO^2}{2}= 2(AO^2 + BO^2)$
mà $AC\perp BD$
nên $AO^2 + BO^2 = AB^2$ (định lý Pytago)
Do đó:
$AC.BD \leq 2AB^2$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow AO = BO \Leftrightarrow AC = BD$
$\Leftrightarrow ABCD$ là hình vuông