chứng minh rằng từ đẳng thức (y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2=(y+z-2x)^2+(z+x-2y)^2+(x+y-2z)^2 ta suy ra x=y=z

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l} {(y – z)^2} + {(z – x)^2} + {(x – y)^2} = {(y + z – 2x)^2} + {(z + x – 2y)^2} + {(x + y – 2z)^2}\\  \Leftrightarrow {y^2} – 2yz + {z^2} + {z^2} – 2xz + {x^2} + {x^2} – 2xy + {y^2} = {y^2} + {z^2} + 4{x^2} + 2yz – 4xz – 4xy\\  + {z^2} + {x^2} + 4{y^2} + 2xz – 4yz – 4xy + {x^2} + {y^2} + 4{z^2} + 2xy – 4xz – 4yz\\  \Leftrightarrow 4({x^2} + {y^2} + {z^2}) – 4(xy + yz + xz) = 0\\  \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} – 2xy – 2yz – 2xz = 0\\  \Leftrightarrow {(x – y)^2} + {(y – z)^2} + {(x – z)^2} = 0 \end{array}$

Vì ${(x – y)^2} \ge 0\forall x,y,{(y – z)^2} \ge 0\forall z,y,{(x – z)^2} \ge 0\forall x,z$

=> ${(x – y)^2} + {(y – z)^2} + {(x – z)^2} \ge 0\forall x,z,y$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x-y=0, y-z=0, x-z=0

<=> x=y=z(đpcm)