Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta luôn có (a-1)(a+2)+12 không là bội của 9.

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
A = \left( {a – 1} \right)\left( {a + 2} \right) + 12\\
 = {a^2} + a – 2 + 12\\
 = {a^2} + a + 10
\end{array}\)

Với \(n = 3k\,\,\left( {k \in Z} \right)\) ta có:

\(A = {\left( {3k} \right)^2} + 3k + 10 = 9{k^2} + 3k + 10\)

A không chia hết cho 3 nên cũng không chia hết cho 9.

Với \(n = 3k+1\,\,\left( {k \in Z} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}
A = {\left( {3k + 1} \right)^2} + \left( {3k + 1} \right) + 10\\
 = 9{k^2} + 6k + 1 + 3k + 1 + 10\\
 = 9\left( {{k^2} + k + 1} \right) + 3
\end{array}\)

Suy ra A không chia hết cho 9

Với \(n = 3k+2\,\,\left( {k \in Z} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}
A = {\left( {3k + 2} \right)^2} + \left( {3k + 2} \right) + 10\\
 = 9{k^2} + 12k + 4 + 3k + 2 + 10\\
 = 9{k^2} + 15k + 16
\end{array}\)

A không chia hết cho 3 nên cũng không chia hết cho 9.

Vậy A không chia hết cho 9.