Chứng minh rằng với x,y ∈ Z thì A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+ $y^{4}$ là một số chính phương

0 bình luận về “Chứng minh rằng với x,y ∈ Z thì A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+ $y^{4}$ là một số chính phương”

1. $\quad A =(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y^4$

   $\to A = [(x+y)(x+4y)][(x+2y)(x+3y)] + y^4$

   $\to A = (x^2 + 5xy + 4y^2)(x^2 + 5xy + 6y^2) + y^4$

   $\to A = (x^2+ 5xy + 5y^2 – y^2)(x^2 + 5xy + 5y^2 + y^2) + y^4$

   $\to A = (x^2 + 5xy + 5y^2)^2 – y^4 + y^4$

   $\to A = (x^2 + 5xy + 5y^2)^2$

   $\to A$ là số chính phương $\forall x;y\in\Bbb Z$

   Bình luận

2. `A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^4`

   `=[(x+y)(x+4y)][(x+2y)(x+3y)+y^4`

   `=(x^2+5xy+4y^2)(x^2+5xy+6y^2)+y^4`

   Đặt `x^2+5xy+5y^2=t`, ta có:

   `A=(t-y^2)(t+y^2)+y^4`

   `=t^2-y^4+y^4`

   `=t^2=(x^2+5xy+5y^2)^2`

   `->A` là một số chính phương. 

    

   Bình luận