Chứng tỏ rằng không tồn tại các số tự nhiên x,y,z sao cho (x+y)×(y+z)×(z+x)+2016=2017^2018
Chứng tỏ rằng không tồn tại các số tự nhiên x,y,z sao cho (x+y)×(y+z)×(z+x)+2016=2017^2018
By Piper
By Piper
Chứng tỏ rằng không tồn tại các số tự nhiên x,y,z sao cho (x+y)×(y+z)×(z+x)+2016=2017^2018
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Vế phải = 2017^2018 là STN lẻ nên để tồn tại đẳng thức thì vế trái phải là STN lẻ
hay (x + y)(y + z)(z + x) lẻ ⇒ cả 3 thừa số x + y ; y + z; z + x đồng thời lẻ
Xét tổng 3 thừa số : (x + y) + (y + z) + (z + x) = 2(x + y + z) luôn là STN chẵn ⇒ cả 3 thừa số x + y ; y + z; z + x không thể đồng thời lẻ mà phải tồn tại ít nhất 1 thừa số chẵn ⇒ Vế trái luôn là số chẵn
Vậy ko tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn đẳng thức
Với $x,y,z$ cùng lẻ hay cũng chẵn hay 2 lẻ 1 chẵn, 1 kẻ 2 chẵn thì tích :
$(x+y)(y+z)(z+x) \vdots 3$
Do đó : $(x+y)(y+z)(z+x) \vdots 3$
Ta có : $2019^{2018} \vdots 3$
Nên $(x+y)(z+x)(z+x) + 2018^{2019} \vdots 3$
Mà $(x+y)(z+x)(y+z) \vdots 3$
Nên : $2018^{2019} \vdots 3$
Mà : $2018 \not \vdots 3 ⇒ 2018^{2019}\not \vdots 3$
Nên không tồn tại $x,y,z$ thỏa mãn đề.