Chuyên gia các bn prororo giúp mk với Cho a,b,c là các số nguyên thõa mãn `a^2/(a^2 + b^2) + c^2/(a^2 + c^2) = (2c)/(b+c)`. Cm `bc` là số chính phương

0 bình luận về “Chuyên gia các bn prororo giúp mk với Cho a,b,c là các số nguyên thõa mãn `a^2/(a^2 + b^2) + c^2/(a^2 + c^2) = (2c)/(b+c)`. Cm `bc` là số chính phương”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải: À đây rồi

   Quy đồng 2 vế lên:

   $(b + c)[a²(a² + c²) + c²(a² + b²)] = 2c(a² + b²)(a² + c²)$

   $ ⇔ (b + c)(a^{4} + 2c²a² + b²c²) = 2c(a^{4} + a²b² + b²c² + c²a²)$

   $ ⇔ a^{4}b + 2a²bc² + b³c² + a^{4}c + 2c³a² + b²c³ $

   $ = 2a^{4}c + 2a²b²c + 2b²c³ + 2c³a²$

   $ ⇔ a^{4}b – a^{4}c – 2a²b²c + 2bc²a² + b³c² – b²c³ = 0$

   $ ⇔ a^{4}(b – c) – 2a²bc(b – c) + b²c²(b – c) = 0$

   $ ⇔ (b – c)(a^{4} – 2a²bc + b²c²) = 0$

   $ ⇔ (b – c)(a² – bc)² = 0$

   $ TH1 : b – c = 0 ⇔ b = c ⇔ bc = b²$ là số chính phương (đpcm)

   $ TH2 : a² – bc = 0 ⇔ bc = a²$là số chính phương (đpcm)

   Cách khác:

   Đẳng thức tương đương với:

   $ \dfrac{a²}{a² + b²} – \dfrac{c}{b + c}+ \dfrac{c²}{a² + c²} – \dfrac{c}{b + c} = 0$ 

   $ ⇔ \dfrac{a²b + a²c – a²c – b²c}{(a² + b²)(b + c)} + \dfrac{bc² + c³ – a²c – c³}{(a² + c²)(b + c)} = 0$

   $ ⇔ \dfrac{b(a² – bc)}{(a² + b²)(b + c)} – \dfrac{c(a² – bc)}{(a² + c²)(b + c)} = 0$

   $ ⇔ \dfrac{(b – c)(a² – bc)²}{(a² + b²)(a² + c²)(b + c)} = 0$

    

   Bình luận