Cm căn a^2 +2b^2 +ab +căn b^2 +2c^2 +bc + căn c^2 +2a^2 +ab ≥ 2(a+ b+c )

0 bình luận về “Cm căn a^2 +2b^2 +ab +căn b^2 +2c^2 +bc + căn c^2 +2a^2 +ab ≥ 2(a+ b+c )”

1. $\rm Xét\ biểu\ thức :\\ a^2+2b^2+ab = (\dfrac{9}{16}a^2 + \dfrac{7}{16}a^2) + (\dfrac{25}{16}b^2 + \dfrac{7}{16}b^2) + \dfrac{15}{8} ab – \dfrac{7}{8} ab \\ = (\dfrac{9}{16} a^2 + \dfrac{15}{8} ab + \dfrac{25}{16} b^2) + (\dfrac{7}{16}a^2 – \dfrac{7}{8} ab+ \dfrac{7}{16}b^2)\\ = (\dfrac{3}{4} a + \dfrac{5}{4}b)^2 + \dfrac{7}{16} *(a-b)^2\\ Ta\ thấy\ \dfrac{7}{16} * (a-b)^2 \ge 0\\ \to (\dfrac{3}{4}a + \dfrac{5}{4}b)^2 + \dfrac{7}{16} *(a-b)^2 \ge ( \dfrac{3}{4} a + \dfrac{5}{4} b)^2\\ \to \sqrt{a^2+2b^2+ab} \ge \dfrac{3}{4} a + \dfrac{5}{4} b \\ Chứng\ minh\ tương\ tự,\ ta\ có :\\ \sqrt{b^2+2c^2+bc} \ge \dfrac{3}{4} b + \dfrac{5}{4}c\\ \sqrt{c^2+2a^2+ab} \ge \dfrac{3}{4} c + \dfrac{5}{4}a\\ Cộng\ vế\ với\ vế\ của\ ba\ bất\ đẳng\ thức\ ta\ có\\ \sqrt{a^2+2b^2+ab} + \sqrt{b^2+2c^2+bc}  + \sqrt{c^2+2a^2+ab} \ge \dfrac{3}{4} a + \dfrac{5}{4} b+ \dfrac{3}{4} b + \dfrac{5}{4}c + \dfrac{5}{4}a= 2(a+b+c) \ (điều\ phải\ chứng\ minh)$

   Bình luận