CM $\sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})}$ + $\sqrt[3]{4(b^{3}+c^{3})}$ + $\sqrt[3]{4(c^{3}+a^{3})}$ $\geq$ 2(a+b+c) với a,b,c $\geq$ 0

0 bình luận về “CM $\sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})}$ + $\sqrt[3]{4(b^{3}+c^{3})}$ + $\sqrt[3]{4(c^{3}+a^{3})}$ $\geq$ 2(a+b+c) với a,b,c $\geq$ 0”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $(a^3+b^3)(a+b)\ge (\sqrt{a^3\cdot a}+\sqrt{b^3\cdot b})^2$

   $\to (a^3+b^3)(a+b)\ge (a^2+b^2)^2\ge (\dfrac12(a+b)^2)^2$

   $\to (a^3+b^3)(a+b)\ge \dfrac14(a+b)^4$

   $\to a^3+b^3\ge \dfrac14(a+b)^3$

   $\to 4(a^3+b^3)\ge (a+b)^3$

   $\to \sqrt[3]{4(a^3+b^3)}\ge a+b(1)$

   Tương tự:

   $\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}\ge b+c(2)$

   $\sqrt[3]{4(c^3+a^3)}\ge c+a(3)$

   Cộng vế với vế của $(1),(2), (3)$

   $\to đpcm$

   Dấu = xảy ra khi $a=b=c$

   Bình luận