CMR :118^n-101^n-16^n-1 chia hết cho 3978 với mọi n lẻ

0 bình luận về “CMR :118^n-101^n-16^n-1 chia hết cho 3978 với mọi n lẻ”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt biểu thức bằng A
   A = (118^n – 1) – (101^n + 16n)
   Áp dụng hai tính chất : 
   an – bn⋮(a – b) ∀ n ∈ N

   và an + bn ⋮ (a + b)) với mọi n lẻ
   Ta có : (118^n – 1) ⋮ 117

   (101 n + 16n_ ⋮ 117
    = > A chia hết cho 117
   Vì 702  =  117.6 nên ta chỉ cần chứng minh thêm A chia hết cho 6

   A = (6.19 + 4)n – (6.16 + 5)n – (6.2 + 4)n – 1

   = (6p + 4n) – (6q + 5n) – (6r + 4n) – 1 = 6(p – q – r) – (5n + 1)⋮6
   (chú ý n lẻ nên an + bn⋮(a + b)⇒5n + 1⋮6an + bn⋮(a + b)

   ⇒5n + 1⋮6
   Suy ra A chia hết cho 702

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Ta có hằng đẳng thức:
   – $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+….+ab^{n-2}+b^{n-1})$ (với mọi n ∈ N)
   – $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+…….-ab^{n-2}+b^{n-1}$ (với mọi n lẻ)
   *) $118^n-101^n-16^n-1=(118^n-101^n)-(16^n+1)=17.A-17.B$
   => $118^n-101^n-16^n-1$ chia hết cho 17 (1)
   *) $118^n-101^n-16^n-1=(118^n-1)-(101^n+16^n)=117.C-117.D$
   => $118^n-101^n-16^n-1$ chia hết cho 117 (2)
   *) $118^n-101^n-16^n-1=(118^n-16^n)-(101^n+1)=102.E-102.F$
   => $118^n-101^n-16^n-1$ chia hết cho 2 (3)
   Và $(17;117;2) = 1$ (4)
   Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: 
   $118^n-101^n-16^n-1$ chia hết cho 17.117.2=3978 (đpcm)
   Chúc bạn học tốt !!

   Bình luận