Cmr : 9(a^3+b^3+c^3) >= (a+b+c)^3 với a,b,c>0

Giải thích các bước giải:

Ta có :

$\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{1^3}{1^3+1^3+1^3}+\dfrac{1^3}{1^3+1^3+1^3}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}.\dfrac{1^3}{1^3+1^3+1^3}.\dfrac{1^3}{1^3+1^3+1^3}} $

$\rightarrow \dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{1^3}{1^3+1^3+1^3}+\dfrac{1^3}{1^3+1^3+1^3}\ge \dfrac{3a}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3).9}}(*) $

Chứng minh tương tự ta có :

$ \dfrac{b^3}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{1^3}{1^3+1^3+1^3}+\dfrac{1^3}{1^3+1^3+1^3}\ge \dfrac{3b}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3).9}} (**)$

$\dfrac{c^3}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{1^3}{1^3+1^3+1^3}+\dfrac{1^3}{1^3+1^3+1^3}\ge \dfrac{3c}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3).9}} (***)$

Cộng vế với vế của (*),(**),(***) ta được :

$3\ge \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3).9}}$

$\rightarrow 9(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b+c)^3$