CMR: A= n^5-5n^3+4n chia hết cho 120 với mọi số tự nhiên n Lm giúp e vs ạ

Ta có

$A = n^5 – 5n^3 + 4n$

$= n(n^4 – 5n^2 + 4)$

$= n[(n^4 – n^2) – (4n^2 + 4)]$

$= n[n^2(n^2-1) – 4(n^2-1)]$

$= n[(n^2-4)(n^2-1)]$

$= n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1)$

$= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$

$Để chứng minh A chia hết cho 120, ta cần chứng minh A chia hết cho 15 và 8.

Ta để ý rằng A là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên trong 5 thừa số này chắc chắn có một thừa số chia hết cho 5, vậy A chia hết cho 5.

Mặc khác, trong 5 số tự nhiên liên tiếp chắc chắn có một số chia hết cho 3, vậy A cũng chia hết cho 3.

Do A chia hết cho 3 và 5 nên A chia hết cho BCNN(3,5) và do đó A chia hết cho 15.

Hơn nữa, trong 4 số tự nhiên liên tiếp chắc chắn có 2 số chẵn, và trong 2 số chẵn đó chắc chắn có một số chia hết cho 4. Vậy trong 5 thừa số chắc chắn có một thừa số chia hết cho 4 và một thừa số chia hết cho 2. Vậy tích của chúng chia hết cho 8. Do đó A chia hết cho 8.

Do A chia hết cho 8 và 15 nên A chia hết cho BCNN(8,15)=120. Vậy A chia hết cho 120.$