CMR: $\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}\geq\sqrt[]{2(x^{2}+y^{2})}$ $x^{2}$ +$y^{2}$ $\geq$ $\frac{(x+y)^{2} }{2}$ dấu bằng xảy ra khi nào?

0 bình luận về “CMR: $\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}\geq\sqrt[]{2(x^{2}+y^{2})}$ $x^{2}$ +$y^{2}$ $\geq$ $\frac{(x+y)^{2} }{2}$ dấu bằng xảy ra khi nào?”

1. a, Đề sai

   b, Xét hiệu: 

   $2(x^2+y^2)-(x+y)^2$

   $=2(x^2+y^2)-x^2-y^2-2xy$

   $=x^2-2xy+y^2$

   $=(x-y)^2≥0∀x;y$

   $⇒2(x^2+y^2)-(x+y)^2≥0$

   $⇒ x^2+y^2≥\dfrac{(x+y)^2}{2}$

   (đpcm)

   Dấu $=$ xảy ra $⇔(x-y)^2=0⇔x-y=0⇔x=y$

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:

   a.Sai đề (thử với $x=0,y=1\to \sqrt{0}+\sqrt{1}\ge \sqrt{2(0^2+1^2)}$ vô lý

   b.Ta có:

   $(x-y)^2\ge 0,\quad\forall x,y$

   $\to x^2+y^2-2xy\ge 0$

   $\to x^2+y^2\ge 2xy$

   $\to 2(x^2+y^2)\ge x^2+y^2+2xy$

   $\to 2(x^2+y^2)\ge (x+y)^2$

   $\to x^2+y^2\ge \dfrac{(x+y)^2}{2}$

   Bình luận