Cmr trong 5 số tự nhiên bất kì luôn có 3 số có tổng chia hết cho 3

0 bình luận về “Cmr trong 5 số tự nhiên bất kì luôn có 3 số có tổng chia hết cho 3”

1. Đáp án: Vậy trong 5 số tự nhiên bất kì luôn có 3 số có tổng chia hết cho 3

    

   Giải thích các bước giải:

   gọi 5 số bất kì là a1,a2,a3,a4,a5

   theo dirichle tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3

   TH1 : có ít nhất 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng 3 số đó chia hết cho 3

   TH2 :chỉ có 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 

   GS a1≡a2≡r(mod3);a3≡a4(mod3)≡a2≡r(mod3);a3≡a4(mod3)

   nếu r=0 thì a1+a3+a5 chia hết cho 3

   nếu r=1 thì a3=3k+2 or a3=3k nên a1+a3+a5 chia hết cho 3

   tương tự với r=2

    

   Bình luận

2. Đáp án:  Luôn chứng minh được trong `5` số tự nhiên bất kì luôn có `3` số có tổng chia hết cho `3`.

   Giải thích các bước giải:

   Lấy `5` số nguyên đã cho, chia `3` được các số dư trong `3` số: `0, 1, 2`

   +) Nếu `5` số nguyên này chia cho `3` có đầy đủ `3` số dư: `0, 1, 2`.

   Giả sử `a_{1} = 3k` ; `a_{2} = 3m + 1` và `a_{3} = 3n + 2`

   `⇒ a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3k + 3m + 1 + 3n + 2 = 3(k + m + n + 1)  \vdots 3`

   +) Nếu `5` số nguyên này khi chia cho `3`, chỉ có cùng `1` số dư thì tổng `3` số bất kỳ chia hết `3`

   Giả sử `a_{1} = 3k + r` ; `a_{2} = 3m + r` và `a_{3} = 3n + r`

   `⇒ a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3(k + m + n + r) \vdots 3`

   +) Nếu `5` số nguyên này khi chia cho `3` có `2` loại dư.

   Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại `3` số `( [5/2] + 1 )` có cùng dư

   `⇒` tổng `3` số này chia hết `3`

   Vậy ta có điều phải chứng minh.

   Bình luận