cmr với mọi n lẻ ∈ N thì P= n^3 + 3n^2 – n – 3 luôn chia hết cho 48

Đáp án:

Ta có : 

`P = n^3 + 3n^2 – n – 3`

`= n^2(n + 3) – (n + 3)`

`= (n + 3)(n^2 – 1)`

`= (n + 3)(n – 1)(n + 1)`

Do `n` là số lẻ

`=> n – 1` và `n + 1` là 2 số chẵn  liên tiếp

`=> (n – 1)(n + 1)` chia hết cho `8`

Do `n` là số lẻ

`=> n + 3` là số chẵn

`=> n + 3` chia hết cho `2`

`=> (n + 3)(n – 1)(n + 1)` chia hết cho `16`  `(1)`

Xét : 

3 số liên tiếp `n – 1 , n , n + 1` tồn tại một số chia hết cho 3 

Th1 : tồn tại 1 trong 2 số `n – 1 , n + 1` chia hết cho 3

`=> (n + 3)(n – 1)(n + 1)` chia hết cho `3` `(2)`

Từ (1) và (2)

`=> P` chia hết cho `48`   Do `(16,3) = 1`

Th2 : `n` chia hết cho 3

`=> n + 3` chia hết cho 3

`=> (n + 3)(n – 1)(n + 1)` chia hết cho `3` `(3)`

Từ (1) và (3)

`=> P` chia hết cho `48`   Do `(16,3) = 1`

Giải thích các bước giải: