CMR với mọi số nguyên dương n ta có : 1 + $ frac{1}{2²}$ + $ frac{1}{3²}$ + ... + $ frac{1}{n²}$

Question

CMR với mọi số nguyên dương n ta có : 1 +   $ frac{1}{2²}$ + $ frac{1}{3²}$  + ... + $ frac{1}{n²}$  < $ frac{5}{3}$

tuenhi · Answer

Lời giải: Ta có `:` `k^2>k^2-1=(k+1)(k-1)` `⇒` `1/k^2<1/{(k-1)(k+1)}=1/2.(1/(k-1)-1/(k+1))``text( (#))` Áp dụng `(#)` ta có `:` `1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<1+1/2^2+1/2.4+...+1/{(n-1)(n+1)}` `=` `1+2^2+1/2.(1/2-1/4+1/3-1/5+...+1/(n-1)-1/(n+1))` `=` `1+1/2^2+1/2.(1/2+1/3-1/n-1/(n+1))` `=` `5/3-(1/n+1/(n+1))<5/3` `->1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<1+1/2^2+1/2.4+...+1/{(n-1)(n+1)}<5/3` `->` `đpcm`

minhnguyet · Answer

Ta có $ a^2 > a^2 - 1 = ( a - 1).(a + 1) $ => $ frac{1}{a^2}$ < $ frac{1}{( a - 1).(a + 1)}$ = ($ frac{1}{a - 1}$ - $ frac{1}{a + 1}$ ). $ frac{1}{2}$ Áp dụng biếu thức trên ta có : $ frac{1}{1^2}$ + $ frac{1}{2^2}$ + $ frac{1}{3^2}$ + ... + $ frac{1}{n^2}$ < $ frac{1}{1^2}$ + $ frac{1}{2^2}$ + $ frac{1}{2.4}$ + ... + $ frac{1}{( n-1)(n+1)}$ < $ frac{1}{1^2}$ + $ frac{1}{2^2}$ + ( $ frac{1}{2}$ - $ frac{1}{4}$ + $ frac{1}{3}$ -$ frac{1}{5}$ + ... + $ frac{1}{n-1}$ - $ frac{1}{n +1}$ ).$ frac{1}{2}$ < $ frac{1}{1^2}$ + $ frac{1}{2^2}$ + ( $ frac{1}{2}$ + $ frac{1}{3}$ - $ frac{1}{n-1}$ - $ frac{1}{n }$ ).$ frac{1}{2}$ < $ frac{5}{3}$ - ($ frac{1}{n}$ + $ frac{1}{n+1}$ ) <$ frac{5}{3}$

CMR với mọi số nguyên dương n ta có : 1 + $\frac{1}{2²}$ + $\frac{1}{3²}$ + … + $\frac{1}{n²}$ < $\frac{5}{3}$

Viết một bình luận Hủy