Có ai giỏi toán có thể tóm tắt lý thuyết và lấy ví dụ phần “Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực” giúp mình với, xin cảm ơn
Có ai giỏi toán có thể tóm tắt lý thuyết và lấy ví dụ phần “Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực” giúp mình với, xin cảm ơn
* Giới hạn tại vô cực ($x\to +\infty, x\to -\infty$): hay áp dụng các cách như:
1. Rút $x$ với số mũ lớn nhất ra làm nhân tử chung.
2. Chia cả tử và mẫu cho số mũ lớn nhất của $x$ (nếu có phân thức)
3. Nhân liên hợp (dành cho dạng vô định)
Sử dụng các quy tắc:
$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^k}=0$ (với $k\in\mathbb{N^*}$)
$\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{1}{n^k}=0$ (với $k\in\mathbb{N^*}$)
Với giới hạn hữu hạn: áp dụng các quy tắc của giới hạn hữu hạn như cộng $\lim$, trừ $\lim$ (sgk)
* Ví dụ:
1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^2+x}{x^3-5}$
$=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{1-\dfrac{5}{x^3}}$ (chia cả tử và mẫu cho $x^3$, hay rút $x^3$ ở cả tử và mẫu rồi rút gọn)
$=\dfrac{0+0}{1-0}=0$
2. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{\sqrt{5+x^2}}{x+1}$
$=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{-x\sqrt{\dfrac{5}{x^2}+1} }{x+1}$ (do $x\to -\infty$ nên $x<0$. Do đó đưa $x^2$ ra ngoài căn phải để dấu âm, $\sqrt{x^2}=|x|$)
$=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{-\sqrt{\dfrac{5}{x^2}+1 }}{1+\dfrac{1}{x}}$
$=\dfrac{-\sqrt1}{1}=-1$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2-5}-\sqrt{x^2+6})$
Nhận thấy khi rút $x^2$ ra căn thì có dạng vô định $0.\infty$ nên phải nhân liên hợp.
Nhân liên hợp là áp dụng $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ hoặc $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ hoặc $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
Liên hợp ta được:
$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{ x^2-5-(x^2-6) }{\sqrt{x^2-5}+\sqrt{x^2-6}}$
$=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{ 1}{\sqrt{x^2-5}+\sqrt{x^2-6}}$
Đến đây lại rút $x^2$, đưa ra căn.
Dạng 1: Giới hạn hàm phân thức
* Phương pháp : Rút bậc cao nhất của tử và mẫu
$\dfrac{P(n)}{Q(n)}$
– Nếu bậc tử < bậc mẫu $\to \lim=0$
– Nếu bậc tử = bậc mẫu $\to \lim = \dfrac{a_1}{a_2}$ ( với $a_1,a_2$ là hệ số của bậc lớn nhất
– Nếu bậc tử > mẫu $\to \lim = \infty$
VD : $\lim\dfrac{3n+2}{n^2+n+1}$
$=\lim\dfrac{3+\dfrac{2}{n}}{n(1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2})}$
$=\lim\dfrac{3}{n}=0$
Vì $\lim\dfrac{2}{n}=0……$(giải thích từng giới hạn)
Dạng 2: Nhân lượng liên hợp
Cơ sở : $\begin{cases} a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^3)\end{cases}$
*Nhìn vào hệ số (1:1)*
VD : (hình 2)
Dạng 3: Giới hạn vô cực
VD : $\lim\dfrac{-n^3+n+2}{2n^2+1}$
$= \lim\dfrac{-n+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^2}}{2+\dfrac{1}{n^2}}$
Vì $\begin{cases} \lim(-n+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^2})=-\infty \\\lim(2+\dfrac{1}{n^2})=2>0\end{cases}$
$\longrightarrow \lim=-\infty$
Dạng 4: Giới hạn các dãy số khác
VD:(hình 3)