CÓ AI LÀM ĐƯỢC KO NHỈ ?
Cho `f(x)=x^2-(2m+1)x+m^2+1` (x là biến, m là tham số)
Tìm tất cả các giá trị của m để đẳng thức `f(x)=(ax+b)^2` đúng với mọi số thực x; trong đó a, b là hằng số.
CÓ AI LÀM ĐƯỢC KO NHỈ ?
Cho `f(x)=x^2-(2m+1)x+m^2+1` (x là biến, m là tham số)
Tìm tất cả các giá trị của m để đẳng thức `f(x)=(ax+b)^2` đúng với mọi số thực x; trong đó a, b là hằng số.
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$f\left( x \right) = {x^2} – \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + 1$
Lại có:
${\left( {ax + b} \right)^2} = {a^2}{x^2} + 2abx + {b^2}$
Như vậy
Để $f\left( x \right) = {\left( {ax + b} \right)^2},\forall x$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
2ab = – 2m – 1\\
{b^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
a = – 1\\
a = 1
\end{array} \right.\\
2ab = – 2m – 1\\
{b^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = – 1\\
2ab = – 2m – 1\\
{b^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right.\left( I \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
2ab = – 2m – 1\\
{b^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right.\left( {II} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$
+) Giải hệ $(I)$
$\begin{array}{l}
\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = – 1\\
– 2b = – 2m – 1\\
{b^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = – 1\\
b = \dfrac{{2m + 1}}{2}\\
{b^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = – 1\\
b = \dfrac{{2m + 1}}{2}\\
{\left( {\dfrac{{2m + 1}}{2}} \right)^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = – 1\\
b = \dfrac{{2m + 1}}{2}\\
4{m^2} + 4m + 1 = 4{m^2} + 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = – 1\\
b = \dfrac{{2m + 1}}{2}\\
m = \dfrac{3}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = – 1\\
b = \dfrac{5}{4}\\
m = \dfrac{3}{4}
\end{array} \right.
\end{array}$
+) Giải hệ $(II)$
$\begin{array}{l}
\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \dfrac{{ – 2m – 1}}{2}\\
{\left( {\dfrac{{ – 2m – 1}}{2}} \right)^2} = {m^2} + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \dfrac{{ – 2m – 1}}{2}\\
4{m^2} + 4m + 1 = 4{m^2} + 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \dfrac{{ – 2m – 1}}{2}\\
m = \dfrac{3}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \dfrac{{ – 5}}{4}\\
m = \dfrac{3}{4}
\end{array} \right.
\end{array}$
Như vậy:
Với $m = \dfrac{3}{4}$ luôn tồn tại hằng số $a,b$ sao cho $f\left( x \right) = {\left( {ax + b} \right)^2},\forall x$
Vậy $m = \dfrac{3}{4}$ thỏa mãn