Đa thức f(x) chia x+1 dư 5 chia x²+1 dư x+2. Tìm số dư trong phép chia f(x) ÷ x³+x²+x+1

0 bình luận về “Đa thức f(x) chia x+1 dư 5 chia x²+1 dư x+2. Tìm số dư trong phép chia f(x) ÷ x³+x²+x+1”

1. Gọi thương của phép chia f(x) cho x+1 là A(x), x^2+1 là B(x), x^3+x^2+x+1 là C(x) và dư là ax^2+bx+c

   Ta có

   f(x)=A(x)(x+1)+5                1

   f(x)=B(x)(x^2+1)+x+2         2

   F(x)=C(x)(x^3+x^2+x+1)+ax^2+bx+c

         =(x+1)(x^2+1)+ax^2+bx+c

        =(x^2+1)[x+1+a(x^2+1]-a+bx+c = (x^2+1)(x+1+a)-a+bx+c    3

   Cho x=-1 tháy vào 1 và 3 ta được

   f(x)=5

   f(x)=a-b+c

   =>a-b+c=5                       4

   Từ 2 và 3 =>b=1

                         c-a=2            5

   Từ 4 và 5=>a+c=6

                       c-a=2

   =>a=2 và c=4

   => dư cần tìm là 2x^2+x+4

   Bình luận

2. Đáp án: $2x^2+x+4$

   Giải thích các bước giải:

   Vì $f(x)$ chia $x+1$ dư $5$ và chia $x^2+1$ dư $x+2$

   $\to f(x)=(x+1)h(x)+5, f(x)=(x^2+1)g(x)+(x+2)$

   $\to (x+1)h(x)+5=(x^2+1)g(x)+(x+2)$

   $\to (x+1)h(x)=(x^2+1)g(x)+x-3$

   $\to (x+1)h(x)=(x^2-1+2)g(x)+x-3$

   $\to (x+1)h(x)=((x-1)(x+1)+2)g(x)+(x+1)-4$

   $\to (x+1)h(x)=(x-1)(x+1)g(x)+2g(x)+(x+1)-4$

   $\to (x-1)(x+1)g(x)+2g(x)+(x+1)-4\quad\vdots\quad x+1$

   $\to 2g(x)-4\quad\vdots\quad x+1$

   $\to g(x)-2\quad\vdots\quad x+1$

   $\to g(x)-2=(x+1)Q(x)$

   $\to g(x)=(x+1)Q(x)+2$

   $\to f(x)=(x^2+1)((x+1)Q(x)+2)+(x+2)$

   $\to f(x)=(x^2+1)(x+1)Q(x)+2(x^2+1)+(x+2)$

   $\to f(x)=(x^2+1)(x+1)Q(x)+(2x^2+x+4)$

   $\to f(x)=(x^3+x^2+x+1)Q(x)+(2x^2+x+4)$

   $\to f(x)$ chia $x^3+x^2+x+1$ dư $2x^2+x+4$

   Bình luận