Đa thức $f(x)$ chia cho $x+1$ dư $5$ và $f(x)$ chia cho $x²+1$ dư $x+2$ . tìm số dư khi $f(x)$ chia cho $x³+x²+x+1$. Các chuyên gia giúp vs ạ

Đáp án:

Đa thức dư là: $2x^2+x+4$

Giải thích các bước giải:

 $f(x)$ chia $x+1$ dư 5 $⇒f(x)=(x+1).g(x)+5$

$⇒f(-1)=5$

Do $x^3+x^2+x+1$ có bậc 3 nên đa thức dư tối đa là bậc 2

Gọi đa thức dư có dạng $ax^2+bx+c$

$⇒f(x)=(x+1)(x^2+1).h(x)+ax^2+bx+c$

$⇒f(x)=(x+1)(x^2+1).h(x)+a(x^2+1)+bx-a+c$

$⇒f(x)=(x^2+1)[(x+1)h(x)+a]+bx-a+c$ (1)

Do $f(x)$ chia $x^2+1$ dư $x+2⇒bx-a+c=x+2$

Đồng nhất hệ số: $\begin{cases}1=b\\2=-a+c \end{cases}$

Thay $x=-1$ vào (1):

$f(-1)=2a-b-a+c⇒a-b+c=5$

Do đó ta có:

$\begin{cases}b=1\\-a+c=2\\a-b+c=5 \end{cases}$

$⇒\begin{cases}a=2\\b=1\\c=4 \end{cases}$

Vậy đa thức dư là: $2x^2+x+4$