đặt Sn=$\frac{1}{1.3}$+$\frac{1}{3.5}$+….+$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ ,n ∈ $N^{*}$ .Rút gọn biểu thức Sn

0 bình luận về “đặt Sn=$\frac{1}{1.3}$+$\frac{1}{3.5}$+….+$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ ,n ∈ $N^{*}$ .Rút gọn biểu thức Sn”

1. Đáp án:${S_n} = \frac{n}{{2n + 1}}$

    

   Giải thích các bước giải:

   $\begin{array}{l}
   {S_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + … + \frac{1}{{\left( {2n – 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\\
    \Rightarrow 2{S_n} = \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + … + \frac{2}{{\left( {2n – 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\\
    = \frac{{3 – 1}}{{1.3}} + \frac{{5 – 3}}{{3.5}} + … + \frac{{\left( {2n + 1} \right) – \left( {2n – 1} \right)}}{{\left( {2n – 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\\
    = 1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{3} – \frac{1}{5} + … + \frac{1}{{2n – 1}} – \frac{1}{{2n + 1}}\\
    = 1 – \frac{1}{{2n + 1}} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}\\
    \Rightarrow {S_n} = \frac{1}{2}.\frac{{2n}}{{2n + 1}} = \frac{n}{{2n + 1}}
   \end{array}$

   Bình luận