để phương trình sin ^6x+cos^6x=a|sin2x| có nghiệm điều kiện thích hợp cho tham số là gì?

Đáp án:

$a > \dfrac{1}{4}$

Giải thích các bước giải:

$\sin^6x + \cos^6x = a|\sin2x|$

$\Leftrightarrow (\sin^2x + \cos^2x)^3 – 3\sin^2x\cos^2x(\sin^2x + \cos^2x) = a|\sin2x|$

$\Leftrightarrow 1 – 3\sin^2x\cos^2x = a|\sin2x|$

$\Leftrightarrow 1 – \dfrac{3}{4}\sin^22x = a|\sin2x|$

$\Leftrightarrow 3\sin^22x + 4a|\sin2x| – 4 = 0$

Đặt $t = |\sin2x| \qquad (t \in [0;1])$

Phương trình trở thành:

$3t^2 + 4at – 4 = 0$ $(*)$

Đặt $f(t) = 3t^2 + 4at – 4 = 0$

Phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm thuộc $[0;1]$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(0).f(1) < 0\\\begin{cases}\Delta ‘ \geq 0\\f(0) > 0\\f(1) >0\\0 < \dfrac{S}{2} < 1\end{cases}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-4.(4a – 1) < 0\\\begin{cases}4a^2 +12 \geq 0\\-4 > 0\\4a – 1 >0\\0 < \dfrac{2}{3}a < 1\end{cases}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a > \dfrac{1}{4}\\\begin{cases}a \in \Bbb R\\-4 > 0 \quad (vô\,\, lí)\\a < \dfrac{1}{4}\\0 < a < \dfrac{3}{2}\end{cases}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow a > \dfrac{1}{4}$