Điểm M chuyển động trên đáy nhỏ AB của hình thang ABCD. Gọi O là giao điểm của các đường thẳng chứa các cạnh bên của hình thang, G là giao điểm của OA và CM, H là giao điểm của OB và DM. Chứng minh rằng khi điểm M chuyển động trên cạnh AB thì tổng $\frac{OG}{GD}$ + $\frac{OH}{HC}$ không đổi.
Qua O vẽ đường thẳng song song với AB, cắt CM, DM thứ tự ở I, K. CI cắt OD ở G, DK cắt OC ở H.
Ta có:
$\frac{OG}{GD}$+$\frac{OH}{HC}$ =$\frac{OI}{CD}$ +$\frac{OK}{CD}$ =$\frac{IK}{CD}$
Tổng không đổi bằng $h_{1}$ : $h_{2}$ ($h_{1}$ là khoảng cách từ O đến AB, $h_{2}$ là chiều cao hình thang).
Đáp án:
Tham khảo
Giải thích các bước giải:
Qua O kẻ đường thẳng song song AB cắt CM,MD theo thứ tự ở 1 và K.Theo định lí Ta lét Ta có:$\frac{OG}{GD}$=$\frac{OI}{CD}$;$\frac{OH}{HC}$=$\frac{OK}{CD}$⇒$\frac{OG}{GD}$+$\frac{OH}{HC}$=$\frac{OI}{CD}$+$\frac{OK}{CD}$= $\frac{IK}{CD}$⇒$\frac{OG}{GD}$+$\frac{OH}{HC}$ $\frac{Ik}{CD}$ (1)
Qua M đường thẳng vuông góc AB cắt IK,CD theo thứ tự ở P và Q,ta có:
$\frac{IK}{CD}$=$\frac{MP}{MQ}$=$\frac{FO}{MQ}$ không thay đổi vì FO là khoảng cách từ O đến AB,MQ là đường cao của hình thang nên không thay đổi (2)
Từ (1) và (2)⇒$\frac{OG}{GD}$+$\frac{OH}{HC}$=$\frac{FO}{MQ}$ không thay đổi