Dự đoán cấp n của hàm số ln(x + 1) và dùng quy nạp để chứng minh dự đoán đó đúng

0 bình luận về “Dự đoán cấp n của hàm số ln(x + 1) và dùng quy nạp để chứng minh dự đoán đó đúng”

1. Đáp án:

   ${y^{\left( n \right)}} = {\left( { – 1} \right)^{n – 1}}\left( {n – 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ – n}},n \ge 2$

   Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   Hàm số $y = \ln \left( {x + 1} \right)$ có:

   $\left\{ \begin{array}{l}
   y’ = \dfrac{1}{{x + 1}}\\
   y” = \dfrac{{ – 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\
   y”’ = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}
   \end{array} \right.$

   Dự đoán: ${y^{\left( n \right)}} = {\left( { – 1} \right)^{n – 1}}\left( {n – 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ – n}}(*),n \ge 2$

   +) Ta thấy:

   Công thức đúng $(*)$ với $n=2;3$

   +) Giả sử công thức đúng với $n=k$ hay ${y^{\left( k \right)}} = {\left( { – 1} \right)^{k – 1}}\left( {k – 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ – k}}$

   +) Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n=k+1$ nghĩa là ${y^{\left( {k + 1} \right)}} = {\left( { – 1} \right)^k}k!{\left( {x + 1} \right)^{ – \left( {k + 1} \right)}}$

   Thật vậy:

   $\begin{array}{l}
   {y^{\left( {k + 1} \right)}} = \left( {{y^{\left( k \right)}}} \right)’\\
    = \left( {{{\left( { – 1} \right)}^{k – 1}}\left( {k – 1} \right)!{{\left( {x + 1} \right)}^{ – k}}} \right)’\\
    = {\left( { – 1} \right)^{k – 1}}\left( {k – 1} \right)!.\left( { – k} \right).{\left( {x + 1} \right)^{ – k – 1}}\\
    = {\left( { – 1} \right)^{k – 1}}.\left( { – 1} \right).k\left( {k – 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ – k – 1}}\\
    = {\left( { – 1} \right)^k}k!{\left( {x + 1} \right)^{ – \left( {k + 1} \right)}}
   \end{array}$

   Như vậy:

   Công thức $(*)$ đúng với $n=k+1$

   $\to$ Ta có điều phải chứng minh

   Vậy ${y^{\left( n \right)}} = {\left( { – 1} \right)^{n – 1}}\left( {n – 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ – n}},n \ge 2$

   Bình luận

2. $\quad y = \ln(x+1)\quad (x>-1)$

   a) Ta có:

   $\quad y’ = \dfrac{1}{x+1}$

   $\quad y” = -\dfrac{1}{(x+1)^2}$

   $\quad y”’ = \dfrac{2}{(x+1)^3}$

   b) Dự đoán:

   $\quad y^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+1)^n}$

   Chứng minh:

   + Với $n = 1$ ta được:

   $\quad y’ = \dfrac{(-1)^0.0!}{x+1} = \dfrac{1}{x+1}$ (đúng)

   + Giả sử công thức đúng với $n = k:$

   $\quad y^{(k)}= \dfrac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(x+1)^k}$

   + Ta cần chứng minh công thức đúng với $n = k +1$

   Tức là: $y^{(k+1)}= \dfrac{(-1)^{k}k!}{(x+1)^{k+1}}$

   Thật vậy, ta có:

   $\quad y^{(k+1)}= \left[y^{(k)}\right]’$

   $\Leftrightarrow y^{(k+1)}= \left[\dfrac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(x+1)^k}\right]’$

   $\Leftrightarrow y^{(k+1)}= (-1)^{k-1}(k-1)!.[(x+1)^{-k}]’$

   $\Leftrightarrow y^{(k+1)}= (-1)^{k-1}.(k-1)!.(-k).(x+1)^{-k-1}$

   $\Leftrightarrow y^{(k+1)}= (-1)^{k-1}.(k-1)!.(-1).k\cdot \dfrac{1}{(x+1)^{k+1}}$

   $\Leftrightarrow y^{(k+1)}= \dfrac{(-1)^kk!}{(x+1)^{k+1}}$

   Vậy công thức $y^{(k+1)}= \dfrac{(-1)^kk!}{(x+1)^{k+1}}$ đúng

   Do đó $y^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+1)^n}\quad \forall n\in\Bbb N^*$

    

   Bình luận