Dự đoán cấp n của hàm số ln(x + 1) và dùng quy nạp để chứng minh dự đoán đó đúng

Đáp án:

${y^{\left( n \right)}} = {\left( { – 1} \right)^{n – 1}}\left( {n – 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ – n}},n \ge 2$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

Hàm số $y = \ln \left( {x + 1} \right)$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}
y’ = \dfrac{1}{{x + 1}}\\
y” = \dfrac{{ – 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\
y”’ = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}
\end{array} \right.$

Dự đoán: ${y^{\left( n \right)}} = {\left( { – 1} \right)^{n – 1}}\left( {n – 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ – n}}(*),n \ge 2$

+) Ta thấy:

Công thức đúng $(*)$ với $n=2;3$

+) Giả sử công thức đúng với $n=k$ hay ${y^{\left( k \right)}} = {\left( { – 1} \right)^{k – 1}}\left( {k – 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ – k}}$

+) Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n=k+1$ nghĩa là ${y^{\left( {k + 1} \right)}} = {\left( { – 1} \right)^k}k!{\left( {x + 1} \right)^{ – \left( {k + 1} \right)}}$

Thật vậy:

$\begin{array}{l}
{y^{\left( {k + 1} \right)}} = \left( {{y^{\left( k \right)}}} \right)’\\
 = \left( {{{\left( { – 1} \right)}^{k – 1}}\left( {k – 1} \right)!{{\left( {x + 1} \right)}^{ – k}}} \right)’\\
 = {\left( { – 1} \right)^{k – 1}}\left( {k – 1} \right)!.\left( { – k} \right).{\left( {x + 1} \right)^{ – k – 1}}\\
 = {\left( { – 1} \right)^{k – 1}}.\left( { – 1} \right).k\left( {k – 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ – k – 1}}\\
 = {\left( { – 1} \right)^k}k!{\left( {x + 1} \right)^{ – \left( {k + 1} \right)}}
\end{array}$

Như vậy:

Công thức $(*)$ đúng với $n=k+1$

$\to$ Ta có điều phải chứng minh

Vậy ${y^{\left( n \right)}} = {\left( { – 1} \right)^{n – 1}}\left( {n – 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ – n}},n \ge 2$