Không vẽ được đa giác đều 25 cạnh bằng thước hoặc compa
Theo định lý Gauss-Wantzel:
“Điều kiện ắt có và đủ để một đa giác đều có n cạnh có thể vẽ được bằng thước thẳng và compa là bằng tích số của một luỹ thừa của 2 với một số bất kỳ các số Fermat nguyên tố khác nhau.”
Số Fermat là số có dạng $F = 2^k + 1$ với k là một số nguyên.
Và từ đó theo điều kiện của Gauss thì đa giác đều có n cạnh có thể vẽ được là
$n=3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, …$
Và $n=25$ thì không nằm trong các số đó nên không thể vẽ được đa giác đều có 25 cạnh
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Dùng compa vẽ 1 đường tròn có bán kính R.
Chia đường tròn thành 25 phần bằng nhau:
Mỗi cạnh của đa giác đều là dây cung của một cung có số đo là 360÷25=14,4
Dùng hệ thức lượng trong tam giác tính độ dài dây cung: √(R²+R²-2×R×R×cos14,4)=m
Dùng thước kẻ kẻ các đoạn thẳng có độ dài bằng m với 2 đầu nằm trên đường tròn ta được 1 đa giác đều có 25 cạnh
Không vẽ được đa giác đều 25 cạnh bằng thước hoặc compa
Theo định lý Gauss-Wantzel:
“Điều kiện ắt có và đủ để một đa giác đều có n cạnh có thể vẽ được bằng thước thẳng và compa là bằng tích số của một luỹ thừa của 2 với một số bất kỳ các số Fermat nguyên tố khác nhau.”
Số Fermat là số có dạng $F = 2^k + 1$ với k là một số nguyên.
Và từ đó theo điều kiện của Gauss thì đa giác đều có n cạnh có thể vẽ được là
$n=3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, …$
Và $n=25$ thì không nằm trong các số đó nên không thể vẽ được đa giác đều có 25 cạnh