Dùng phương pháp xuống thang nha cả nhà =) Tìm x,y ∈ Z biết $x^{3}-12y^3=10z^3$

Đáp án: $(0,0,0)$

Giải thích các bước giải:

Giả sử phương trình có nghiệm $(x_0,y_0,z_0)$

$\to x_0^3-12y_0^3=10z_0^3$

$\to x_0^3$ chẵn

$\to x_0$ chẵn

$\to$Đặt $x_0=2x_1$

$\to (2x_1)^3-12y_0^3=10z_0^3$

$\to 8x_1^3-12y_0^3=10z_0^3$

$\to 4x_1^3-6y_0^3=5z_0^3$

$\to z_0$ chẵn

$\to$Đặt $z_0=2z_1$

$\to 4x_1^3-6y_0^3=5(2z_1)^3$

$\to 4x_1^3-6y_0^3=40z_1^3$

$\to 2x_1^3-3y_0^3=20z_1^3$

$\to y_0$ chẵn

$\to y_0=2y_1$

$\to 2x_1^3-3(2y_1)^3=20z_1^3$

$\to 2x_1^3-24y_1^3=20z_1^3$

$\to x_1^3-12y_1^3=10z_1^3$

$\to$Phương trình có nghiệm $(x_1, y_1, z_1)=(\dfrac{x_0}{2}, \dfrac{y_0}2, \dfrac{z_0}2)$

Tương tự lập luận được phương trình có nghiệm $(x_n, y_n, z_n)=(\dfrac{x_0}{2^n}, \dfrac{y_0}{2^n}, \dfrac{z_0}{2^n})$

$\to x_0=y_0=z_0=0$

$\to$Phương trình có nghiệm $(0,0,0)$