Dùng phương pháp xuống thang nha cả nhà =) Tìm x,y ∈ Z biết $4x^{2}+7y^2=12z^2$

0 bình luận về “Dùng phương pháp xuống thang nha cả nhà =) Tìm x,y ∈ Z biết $4x^{2}+7y^2=12z^2$”

1. Đáp án: $(0,0,0)$

   Giải thích các bước giải:

   Giả sử phương trình có nghiệm $(x_0,y_0, z_0)$

   $\to 4x_0^2+7y_0^2=12z_0^2$

   Ta có $12z_0^2\quad\vdots\quad 3$

   $\to 4x_0^2+7y_0^2\quad\vdots\quad 3$

   Kết hợp số chính phương chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

   $\to x_0,y_0\quad\vdots\quad 3$

   $\to$Đặt $ x_0=3x_1, y_0=3y_1$

   $\to 4(3x_1)^2+7(3y_1)^2=12z^2$

   $\to 4\cdot 9x_1^2+7\cdot 9y_1^2=12z^2$

   $\to 4\cdot 3x_1^2+7\cdot 3y_1^2=4z^2$

   $\to 4z_0^2\quad\vdots\quad 3$

   $\to z_0\quad\vdots\quad 3$

   $\to z_0=3z_1$

   $\to 4\cdot 3x_1^2+7\cdot 3y_1^2=4(3z_1)^2$

   $\to 4x_1^2+7y_1^2=12z_1^2$

   $\to$Phương trình có bộ nghiệm $(x_1, y_1, z_1)=(\dfrac{x_0}{3}, \dfrac{y_0}3, \dfrac{z_0}3)$

   Lập luận tương tự

   $\to $Phương trình có nghiệm $(x_n, y_n, z_n)=(\dfrac{x_0}{3^n}, \dfrac{y_0}{3^n}, \dfrac{z_0}{3^n})$

   Theo quy tắc xuống thang

   $\to x_0=0,y_0=0, z_0=0$

   $\to$Phương trình có nghiệm $(0,0,0)$

   Bình luận