Xét tính tăng giảm của dãy số: √(n) – √(3n+1)

Xét tính tăng giảm của dãy số:
√(n) – √(3n+1)

0 bình luận về “Xét tính tăng giảm của dãy số: √(n) – √(3n+1)”

  1. Đáp án:

     Dãy số đã cho là dãy số giảm 

    Giải thích các bước giải:

     $u_n = \sqrt{n} – \sqrt{3n+1}$

    $u_{n+1} = \sqrt{n+1} –  \sqrt{3n+4}$

    $u_n = \sqrt{n} –  \sqrt{3n+1}$

    $\Rightarrow u_{n+1} – u_n = \sqrt{n+1} –  \sqrt{3n+4} –  \sqrt{n} + \sqrt{3n+1}$

    $= (\sqrt{n+1} + \sqrt{3n+1})-(\sqrt{3n+4} + \sqrt{n})$

    $A = \sqrt{n+1} + \sqrt{3n+1}$

    $\Rightarrow A^2 = 4n+2+2\sqrt{3n^2+4n+2}$

    $B = \sqrt{3n+4} + \sqrt{n}$

    $\Rightarrow B^2=4n+4+2\sqrt{3n^2+4n}$

    $C=\sqrt{3n^2+4n+2}$

    $\Rightarrow C^2= 3n^2+4n+2$

    $=3n^2+4n+1+1$

    $D=\sqrt{3n^2+4n} +1$

    $\Rightarrow D^2=1+3n^2+4n+2\sqrt{3n^2+4n}$

    $= 3n^2+4n+1+2\sqrt{3n^2+4}$

    Ta có : $1 <2\sqrt{3n^2+4n}(\forall n \ge 1)$

    $\Rightarrow C^2 < D^2$

    $\to C < D$

    $\Rightarrow \sqrt{3n^2 +4n+2} <1+\sqrt{3n^2+4n}$

    $\Rightarrow 2\sqrt{3n^2+4n+2} <2+2\sqrt{3n^2+4n}$

    $\Rightarrow 4n+2+2\sqrt{3n^2+4n+2} < 4n+4+2\sqrt{3n^2+4n}$

    $\Rightarrow A^2 < B^2$

    $\Rightarrow A < B$

    $\to u_{n+1} – u_n <0$

    Bình luận
  2. Giải thích các bước giải:

    Ta có

    $\sqrt{n} – \sqrt{3n+1} = \dfrac{n – 3n – 1}{\sqrt{n} + \sqrt{3n+1}} = \dfrac{-2n-1}{\sqrt{n} + \sqrt{3n+1}}$

    Ta thấy rằng khi $n$ càng lớn thì tử số càng giảm, mẫu số càng tăng, do đó giá trị của phân thức trên càng giảm.

    Do đó khi $n$ tăng thì giá trị của dãy số giảm.

    Vậy đây là dãy số giảm.

    Bình luận

Viết một bình luận