Xét tính tăng giảm của dãy số: √(n) – √(3n+1) 20/11/2021 Bởi Maria Xét tính tăng giảm của dãy số: √(n) – √(3n+1)
Đáp án: Dãy số đã cho là dãy số giảm Giải thích các bước giải: $u_n = \sqrt{n} – \sqrt{3n+1}$ $u_{n+1} = \sqrt{n+1} – \sqrt{3n+4}$ $u_n = \sqrt{n} – \sqrt{3n+1}$ $\Rightarrow u_{n+1} – u_n = \sqrt{n+1} – \sqrt{3n+4} – \sqrt{n} + \sqrt{3n+1}$ $= (\sqrt{n+1} + \sqrt{3n+1})-(\sqrt{3n+4} + \sqrt{n})$ $A = \sqrt{n+1} + \sqrt{3n+1}$ $\Rightarrow A^2 = 4n+2+2\sqrt{3n^2+4n+2}$ $B = \sqrt{3n+4} + \sqrt{n}$ $\Rightarrow B^2=4n+4+2\sqrt{3n^2+4n}$ $C=\sqrt{3n^2+4n+2}$ $\Rightarrow C^2= 3n^2+4n+2$ $=3n^2+4n+1+1$ $D=\sqrt{3n^2+4n} +1$ $\Rightarrow D^2=1+3n^2+4n+2\sqrt{3n^2+4n}$ $= 3n^2+4n+1+2\sqrt{3n^2+4}$ Ta có : $1 <2\sqrt{3n^2+4n}(\forall n \ge 1)$ $\Rightarrow C^2 < D^2$ $\to C < D$ $\Rightarrow \sqrt{3n^2 +4n+2} <1+\sqrt{3n^2+4n}$ $\Rightarrow 2\sqrt{3n^2+4n+2} <2+2\sqrt{3n^2+4n}$ $\Rightarrow 4n+2+2\sqrt{3n^2+4n+2} < 4n+4+2\sqrt{3n^2+4n}$ $\Rightarrow A^2 < B^2$ $\Rightarrow A < B$ $\to u_{n+1} – u_n <0$ Bình luận
Giải thích các bước giải: Ta có $\sqrt{n} – \sqrt{3n+1} = \dfrac{n – 3n – 1}{\sqrt{n} + \sqrt{3n+1}} = \dfrac{-2n-1}{\sqrt{n} + \sqrt{3n+1}}$ Ta thấy rằng khi $n$ càng lớn thì tử số càng giảm, mẫu số càng tăng, do đó giá trị của phân thức trên càng giảm. Do đó khi $n$ tăng thì giá trị của dãy số giảm. Vậy đây là dãy số giảm. Bình luận
Đáp án:
Dãy số đã cho là dãy số giảm
Giải thích các bước giải:
$u_n = \sqrt{n} – \sqrt{3n+1}$
$u_{n+1} = \sqrt{n+1} – \sqrt{3n+4}$
$u_n = \sqrt{n} – \sqrt{3n+1}$
$\Rightarrow u_{n+1} – u_n = \sqrt{n+1} – \sqrt{3n+4} – \sqrt{n} + \sqrt{3n+1}$
$= (\sqrt{n+1} + \sqrt{3n+1})-(\sqrt{3n+4} + \sqrt{n})$
$A = \sqrt{n+1} + \sqrt{3n+1}$
$\Rightarrow A^2 = 4n+2+2\sqrt{3n^2+4n+2}$
$B = \sqrt{3n+4} + \sqrt{n}$
$\Rightarrow B^2=4n+4+2\sqrt{3n^2+4n}$
$C=\sqrt{3n^2+4n+2}$
$\Rightarrow C^2= 3n^2+4n+2$
$=3n^2+4n+1+1$
$D=\sqrt{3n^2+4n} +1$
$\Rightarrow D^2=1+3n^2+4n+2\sqrt{3n^2+4n}$
$= 3n^2+4n+1+2\sqrt{3n^2+4}$
Ta có : $1 <2\sqrt{3n^2+4n}(\forall n \ge 1)$
$\Rightarrow C^2 < D^2$
$\to C < D$
$\Rightarrow \sqrt{3n^2 +4n+2} <1+\sqrt{3n^2+4n}$
$\Rightarrow 2\sqrt{3n^2+4n+2} <2+2\sqrt{3n^2+4n}$
$\Rightarrow 4n+2+2\sqrt{3n^2+4n+2} < 4n+4+2\sqrt{3n^2+4n}$
$\Rightarrow A^2 < B^2$
$\Rightarrow A < B$
$\to u_{n+1} – u_n <0$
Giải thích các bước giải:
Ta có
$\sqrt{n} – \sqrt{3n+1} = \dfrac{n – 3n – 1}{\sqrt{n} + \sqrt{3n+1}} = \dfrac{-2n-1}{\sqrt{n} + \sqrt{3n+1}}$
Ta thấy rằng khi $n$ càng lớn thì tử số càng giảm, mẫu số càng tăng, do đó giá trị của phân thức trên càng giảm.
Do đó khi $n$ tăng thì giá trị của dãy số giảm.
Vậy đây là dãy số giảm.