`G=x^4-6x^3+11x^2+12x+20` Tìm GTNN của biểu thức trên

Đáp án: (Mình đổi đề: $-6x^3⇒+6x^3$)

$G_{min}=2$ khi $x=-3$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $G=x^4+6x^3+11x^2+12x+20$

$=(x^4+6x^3+9x^2)+(2x^2+12x+18)+2$

$=[(x^2)^2+2.x^2.3x+(3x)^2]+2(x^2+6x+9)+2$

$=(x^2+3x)^2+2(x+3)^2+2$

Do $(x^2+3x)^2≥0∀x$

      $2(x+3)^2≥0∀x$

$⇒(x^2+3x)^2+2(x+3)^2≥0∀x$

$⇒G=(x^2+3x)^2+2(x+3)^2+2≥2∀x$

Dấu bằng xảy ra

$⇔(x^2+3x)^2=2(x+3)^2=0(1)$

Từ $(x^2+3x)^2=0$

$⇔x^2+3x=0$

$⇔x(x+3)=0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}x=0\\x+3=0\end{array} \right.$

$⇔\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=-3\end{array} \right.(2)$

Từ $2(x+3)^2=0$

$⇔(x+3)^2=0$

$⇔x+3=0$

$⇔x=-3(3)$

Từ $(1);(2);(3)⇒x=-3$