Giả sử` a, b, u, v `là các số thực mà` av – bu = 1.` Chứng minh rằng: `a ^ 2 + b ^ 2 + u ^ 2 + v ^ 2 + au + bv ≥√3`

Bởi

Giả sử` a, b, u, v `là các số thực mà` av – bu = 1.` Chứng minh rằng:
`a ^ 2 + b ^ 2 + u ^ 2 + v ^ 2 + au + bv ≥√3`

0 bình luận về “Giả sử` a, b, u, v `là các số thực mà` av – bu = 1.` Chứng minh rằng: `a ^ 2 + b ^ 2 + u ^ 2 + v ^ 2 + au + bv ≥√3`”

  1. Đặt `A=a^2+b^2+u^2+v^2+au+bv`

    `4A=4a^2+4b^2+4u^2+4v^2+4au+4bv`

    `⇔4A=(2a+u)^2+(2b+v)^2+3u^2+3v^2`

    `⇔A=((2a+u)^2+(2b+v)^2+3u^2+3v^2)/4 ≥0`

    ta có :

    `⇔A≥2\sqrt((a^2+b^2)(u^2+v^2))+au+bv`

    `⇔A^2≥2\sqrt((ac+bd)^2 +(av-bu)^2)+au+bv`

    `⇔A^2≥2\sqrt((ac+bd)^2 +1)+au+bv`

    `⇒A^2≥(au+bv)^2+4+4(au+bv)^2+4x\sqrt((au+bv)^2+1)`

    `⇔A^2≥1+(au+bv)^2+4x\sqrt((au+bv)^2+1)+4x^2+3`

     `⇔A^2≥((au+bv)^2+2x+1)^2+3≥3`

    `⇔A≥√3`

    `”=”`xẩy ra khi :

    `a=-`$\sqrt[4]{4/(3)}$

    `b=0`

    `c=`$\sqrt[4]{1/(12)}$

    `d=`$\sqrt[4]{3/(4)}$

    Bình luận

Viết một bình luận