Giả sử hai số x và y thỏa mãn: $2x + y = 6$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 4x^2+4y^2$ 14/07/2021 Bởi Kinsley Giả sử hai số x và y thỏa mãn: $2x + y = 6$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 4x^2+4y^2$
$2x+y=6$ $↔ y=6-2x$ $(1)$ Khi đó: $A=4x^2+4y^2$ $=4x^2+4(6-2x)^2$ $=4x^2+4(36-24x+4x^2)$ $=20x^2-96x+144$ $=20\Bigg(x^2-2x.\dfrac{12}{5}+\dfrac{144}{25}\Bigg)+\dfrac{144}{5}$ $=20\Bigg(x-\dfrac{12}{5}\Bigg)^2+\dfrac{144}{5}$ Vì $\Bigg(x-\dfrac{12}{5}\Bigg)^2≥0$ nên $20\Bigg(x-\dfrac{12}{5}\Bigg)^2+\dfrac{144}{5}≥\dfrac{144}{5}$ Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi $x-\dfrac{12}{5}=0 ↔ x=\dfrac{12}{5}$ Thay $x=\dfrac{12}{5}$ vào $(1)$ ta được: $y=6-2.\dfrac{12}{5}=\dfrac{6}{5}$ Vậy giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{144}{5}$ khi $(x;y)=\Bigg(\dfrac{12}{5};\dfrac{6}{5}\Bigg)$ Bình luận
Đáp án: $\min A = \dfrac{144}{5}\Leftrightarrow (x;y) = \left(\dfrac{12}{5};\dfrac{6}{5}\right)$ Giải thích các bước giải: Ta có: $2x + y = 6$ $\Leftrightarrow y = 6 – 2x$ Ta được: $A = 4x^2 + 4y^2$ $= 4x^2 + 4(6 – 2x)^2$ $= 20x^2 – 96x + 144$ $= 20\left(x – \dfrac{12}{5}\right)^2 + \dfrac{144}{5}$ Do $\left(x – \dfrac{12}{5}\right)^2 \geq 0, \, \forall x$ nên $20\left(x – \dfrac{12}{5}\right)^2 + \dfrac{144}{5} \geq \dfrac{144}{5}$ Hay $A \geq \dfrac{144}{5}$ Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x = \dfrac{12}{5} \Rightarrow y = \dfrac{6}{5}$ Vậy $\min A = \dfrac{144}{5}\Leftrightarrow (x;y) = \left(\dfrac{12}{5};\dfrac{6}{5}\right)$ Bình luận
$2x+y=6$
$↔ y=6-2x$ $(1)$
Khi đó:
$A=4x^2+4y^2$
$=4x^2+4(6-2x)^2$
$=4x^2+4(36-24x+4x^2)$
$=20x^2-96x+144$
$=20\Bigg(x^2-2x.\dfrac{12}{5}+\dfrac{144}{25}\Bigg)+\dfrac{144}{5}$
$=20\Bigg(x-\dfrac{12}{5}\Bigg)^2+\dfrac{144}{5}$
Vì $\Bigg(x-\dfrac{12}{5}\Bigg)^2≥0$ nên $20\Bigg(x-\dfrac{12}{5}\Bigg)^2+\dfrac{144}{5}≥\dfrac{144}{5}$
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi $x-\dfrac{12}{5}=0 ↔ x=\dfrac{12}{5}$
Thay $x=\dfrac{12}{5}$ vào $(1)$ ta được: $y=6-2.\dfrac{12}{5}=\dfrac{6}{5}$
Vậy giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{144}{5}$ khi $(x;y)=\Bigg(\dfrac{12}{5};\dfrac{6}{5}\Bigg)$
Đáp án:
$\min A = \dfrac{144}{5}\Leftrightarrow (x;y) = \left(\dfrac{12}{5};\dfrac{6}{5}\right)$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$2x + y = 6$
$\Leftrightarrow y = 6 – 2x$
Ta được:
$A = 4x^2 + 4y^2$
$= 4x^2 + 4(6 – 2x)^2$
$= 20x^2 – 96x + 144$
$= 20\left(x – \dfrac{12}{5}\right)^2 + \dfrac{144}{5}$
Do $\left(x – \dfrac{12}{5}\right)^2 \geq 0, \, \forall x$
nên $20\left(x – \dfrac{12}{5}\right)^2 + \dfrac{144}{5} \geq \dfrac{144}{5}$
Hay $A \geq \dfrac{144}{5}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x = \dfrac{12}{5} \Rightarrow y = \dfrac{6}{5}$
Vậy $\min A = \dfrac{144}{5}\Leftrightarrow (x;y) = \left(\dfrac{12}{5};\dfrac{6}{5}\right)$