Giải bất phương trình: (1/x – 2/x-1)(1/x+1 -1)>=1
Giải phương trình nghiệm nguyên:
a) x^2-16=y(y+4)
b) y^2+2xy-3x-2=0
Giải bất phương trình: (1/x – 2/x-1)(1/x+1 -1)>=1
Giải phương trình nghiệm nguyên:
a) x^2-16=y(y+4)
b) y^2+2xy-3x-2=0
Đáp án:
$\begin{array}{l}
Dkxd:x \ne 0;x \ne 1;x \ne – 1\\
\left( {\dfrac{1}{x} – \dfrac{2}{{x – 1}}} \right)\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} – 1} \right) \ge 1\\
\Rightarrow \dfrac{{x – 1 – 2x}}{{x\left( {x – 1} \right)}}.\dfrac{{1 – x – 1}}{{x + 1}} \ge 1\\
\Rightarrow \dfrac{{ – x – 1}}{{x\left( {x – 1} \right)}}.\dfrac{{ – x}}{{x + 1}} \ge 1\\
\Rightarrow \dfrac{1}{{x – 1}} – 1 \ge 0\\
\Rightarrow \dfrac{{1 – x + 1}}{{x – 1}} \ge 0\\
\Rightarrow \dfrac{{2 – x}}{{x – 1}} \ge 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2 – x \ge 0\\
x – 1 > 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2 – x \le 0\\
x – 1 < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
x > 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x < 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 1 < x \le 2\\
Vay\,1 < x \le 2\\
a){x^2} – 16 = y\left( {y + 4} \right)\\
\Rightarrow {x^2} – 16 = {y^2} + 4y\\
\Rightarrow {x^2} – 16 + 4 = {y^2} + 4y + 4\\
\Rightarrow {x^2} – 12 = {\left( {y + 2} \right)^2}\\
\Rightarrow {x^2} – {\left( {y + 2} \right)^2} = 12\\
\Rightarrow \left( {x – y – 2} \right)\left( {x + y + 2} \right) = 12
\end{array}$
Ta có: x;y là các số nguyên nên (x-y-2) và (x+y+2) phải là 2 số có cùng t/c chẵn hoặc lẻ
12=2.6=(-2). (-6)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x – y – 2 = 2\\
x + y + 2 = 6
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x – y – 2 = 6\\
x + y + 2 = 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x – y – 2 = – 2\\
x + y + 2 = – 6
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x – y – 2 = – 6\\
x + y + 2 = – 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x – y = 4\\
x + y = 4
\end{array} \right.\\
\left\{ {\left\{ \begin{array}{l}
x – y = 8\\
x + y = 0
\end{array} \right.} \right.\\
\left\{ {\left\{ \begin{array}{l}
x – y = 0\\
x + y = – 8
\end{array} \right.} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x – y = – 4\\
x + y = – 4
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = – 4
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = – 4\\
y = – 4
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = – 4\\
y = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
Vậy\,\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {4;0} \right);\left( {4; – 4} \right);\left( { – 4; – 4} \right);\left( { – 4;0} \right)} \right\}\\
b){y^2} + 2xy – 3x – 2 = 0\\
\Rightarrow {\left( {y + x} \right)^2} – {x^2} – 3x – 2 = 0\\
\Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 3x + 2\\
\Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)
\end{array}$
Ta thấy (x+1) và (x+2) là 2 số liên tiếp
Mà tích 2 số liên tiếp ko thể là số chính phương
=> ko có x;y thỏa mãn yêu cầu.