Giải bpt sau : $\sqrt{x^{2}-1}$ + $\sqrt{x^{2}-x}$ $\leq$ $\sqrt{x^{2}+x-2}$

0 bình luận về “Giải bpt sau : $\sqrt{x^{2}-1}$ + $\sqrt{x^{2}-x}$ $\leq$ $\sqrt{x^{2}+x-2}$”

1. Đáp án:

   $S = \left\{ 1 \right\}$

   Giải thích các bước giải:

    ĐKXĐ: $\left[ \begin{array}{l}
   x \ge 1\\
   x \le  – 2
   \end{array} \right.$

   Ta có:

   $\sqrt {{x^2} – 1}  + \sqrt {{x^2} – x}  \le \sqrt {{x^2} + x – 2} \left( 1 \right)$

   $\begin{array}{l}
    + )TH1:x \ge 1\\
   \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} .\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x – 1} .\sqrt x  \le \sqrt {x – 1} .\sqrt {x + 2} \\
    \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} \left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt x } \right) \le \sqrt {x – 1} .\sqrt {x + 2} \\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   \sqrt {x – 1}  = 0\\
   \sqrt {x + 1}  + \sqrt x  \le \sqrt {x + 2} 
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   x – 1 = 0\\
   2x + 1 + 2\sqrt {x\left( {x + 1} \right)}  \le x + 2
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   x = 1\\
   2\sqrt {x\left( {x + 1} \right)}  \le 1 – x
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   x = 1\\
   2\sqrt {x\left( {x + 1} \right)}  = 1 – x = 0\left( {do:1 – x \le 0} \right)
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   x = 1\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   x = 1\\
   \left[ \begin{array}{l}
   x = 0\\
   x =  – 1
   \end{array} \right.
   \end{array} \right.\left( l \right)
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow x = 1
   \end{array}$

   $\begin{array}{l}
    + )TH2:x \le  – 2\\
   \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {1 – x} .\sqrt { – x – 1}  + \sqrt {1 – x} .\sqrt { – x}  \le \sqrt {1 – x} .\sqrt { – 2 – x} \\
    \Leftrightarrow \sqrt {1 – x} \left( {\sqrt { – x – 1}  + \sqrt { – x} } \right) \le \sqrt {1 – x} .\sqrt { – 2 – x} \\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   \sqrt {1 – x}  = 0\\
   \sqrt { – x – 1}  + \sqrt { – x}  \le \sqrt { – x – 2} 
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   x = 1\left( l \right)\\
    – 2x – 1 + 2\sqrt {x\left( {x + 1} \right)}  \le  – x – 2
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   x = 1\left( l \right)\\
   2\sqrt {x\left( {x + 1} \right)}  \le x – 1\left( {vn,do:x \le  – 2 \Rightarrow x – 1 \le  – 3 < 0} \right)
   \end{array} \right.
   \end{array}$

   Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 1 \right\}$

   Bình luận