Giải đầy đủ, không đủ=báo cáo
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa $a+b+c=6$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{{\sqrt {{b^3} + 1} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {{c^3} + 1} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {{a^3} + 1} }} \ge 2$
Giải đầy đủ, không đủ=báo cáo
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa $a+b+c=6$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{{\sqrt {{b^3} + 1} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {{c^3} + 1} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {{a^3} + 1} }} \ge 2$
Đáp án:
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
`\sqrt{b^3+1}=\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}<=(b+1+b^2-b+1)/2=(b^2+2)/2`
`=>a/\sqrt{b^3+1}>=(2a)/(b^2+2)`
`<=>a/\sqrt{b^3+1}>=(2a)/(b^2+2)`
Hoàn toàn tương tự:
`b/\sqrt{c^3+1}>=(2b)/(c^2+2)`
`c/\sqrt{a^3+1}>=(2c)/(a^2+1)`
`=>VT>=2(a/(b^2+2)+b/(c^2+2)+c/(a^2+2))`
Ta có:`(2a)/(b^2+2)=a-(2ab^2)/(b^2+b^2+4)`
Áp dụng bđt cosi:
`b^2+b^2+4>=3\root{3}{4b^4}`
`=>(2ab^2)/(b^2+b^2+4)<=(2ab^2)/(3\root{3}{4b^4})=(a\root{3}{2b^2})/3`
Áp dụng cosi lần nữa ta có:
`(2ab^2)/(b^2+b^2+4)<=(a\root{3}{2.b^2})/3<=(a(b+b+2))/9`
`=>(2a)/(b^2+2)>=a-(a(b+b+2))/9`
CMTT:
`(2b)/(c^2+c^2+4)>=b-(b(c+c+2))/9`
`(2c)/(a^2+a^2+4)>=c-(c(a+a+2))/9`
Cộng từng vế các BĐT trên ta có:
`a/(b^2+2)+b/(c^2+2)+c/(a^2+2)>=a+b+c-(2(a+b+c))/9-(2(ab+bc+ca))/9=(7(a+b+c))/9-(2(ab+bc+ca))/9`
Dễ thấy:`a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca`
`=>3(ab+bc+ca)<=(a+b+c)^2=36`
`=>(ab+bc+ca)<=12`
`=>a/(b^2+2)+b/(c^2+2)+c/(a^2+2)>=(7.6)/9-(2.12)/9=2`
Dấu “=” xảy ra khi `a=b=c=2`.