Giải hpt:
a, $\left \{ {{x^{2}+y^{2}-2xy=1} \atop {2x^{2}+2y^{2}-2xy-y=0}} \right.$
b, $\left \{ {{xy+x-y=1} \atop {xy-3x+y=5}} \right.$
c, $\left \{ {{x^{2}+y^{2}-4x-4y-8=0} \atop {x^{2}+y^{2}+4x+4y-8=0}} \right.$
d, $\left \{ {{x+xy+y=11} \atop {x^{2}+y^{2}-xy-2(x+y)=-3}} \right.$
Đáp án:
a) $S= \varnothing$
b) $S = \left\{ (1,4), \left( -\dfrac{3}{2}, -1 \right) \right\}$.
c) $S = \{ (2, -2), (-2, 2) \}$.
d) $S = \{(2,3), (3,2) \}$.
Giải thích các bước giải:
a) Xét hệ
$\begin{cases} x^2 + y^2 – 2xy = 1\\ 2x^2 + 2y^2 – 2xy – y = 0 \end{cases}$
Từ ptrinh đầu ta suy ra
$(x-y)^2 = 1$
$\Leftrightarrow x – y = \pm 1$
Ta lại có
$2x^2 + 2y^2 – 2xy – y = 0$
$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + (x^2 + y^2 – 2xy) – y = 0$
$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + 1 – y = 0$
Vậy hệ trở thành
$\begin{cases} x – y = 1\\ x^2 + y^2 – y + 1 = 0 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x – y = -1\\ x^2 + y^2 – y + 1 = 0 \end{cases}$
TH1: $x – y = 1$
Từ đó suy ra $x = y + 1$. Thay vào phương trình sau ta có
$(y+1)^2 + y^2 – y + 1 =0$
$\Leftrightarrow 2y^2 +y +2 = 0$
Phương trình này vô nghiệm
TH2: $x – y = -1$
Suy ra $x = y-1$. Thay vào phương trình sau ta có
$(y-1)^2 + y^2 -y + 1 = 0$
$\Leftrightarrow 2y^2 -3y + 2 = 0$
Phương trình này cũng vô nghiệm.
Vậy $S = \varnothing$.
b) Hệ đã cho tương đương với
$\begin{cases} xy = y – x + 1\\ xy = 3x – y + 5 \end{cases}$
Từ đó suy ra
$y-x + 1 = 3x – y + 5$
$\Leftrightarrow 4x – 2y = -4$
$\Leftrightarrow 2x – y = -2$
$\Leftrightarrow y = 2x + 2$
Thế vào phương trình đầu ta có
$x(2x + 2) + x – (2x + 2) = 1$
$\Leftrightarrow 2x^2 +x -3 = 0$
$\Leftrightarrow (x-1)(2x + 3) = 0$
Vậy $x = 1$ hoặc $x = -\dfrac{3}{2}$, suy ra $y = 4$ hoặc $y = -1$.
Vậy $S = \left\{ (1,4), \left( -\dfrac{3}{2}, -1 \right) \right\}$.
c) Hệ đã cho tương đương với
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 4x + 4y + 8\\ x^2 + y^2 = -4x – 4y + 8 \end{cases}$
Từ đó suy ra
$4x + 4y + 8 = -4x – 4y +8 $
$\Leftrightarrow 8x + 8y = 0$
$\Leftrightarrow x = -y$
Thế vào phương trình sau ta có
$x^2 + x^2 + 4x – 4x – 8 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 -4 = 0$
$\Leftrightarrow x = \pm 2$
Suy ra $y = \mp 2$
Vậy $S = \{ (2, -2), (-2, 2) \}$.
d) Phương trình sau tương đương với
$(x^2 + y^2 + 2xy) – 2(x+y) – 3xy = -3$
$\Leftrightarrow (x+y)^2 – 2(x+y) – 3xy + 3 = 0$ (2)
Từ ptrinh đầu ta có
$xy = 11 – x-y$
Thế vào (2) ta có
$(x+y)^2 – 2(x+y) – 3(11-x-y) +3 = 0$
$\Leftrightarrow (x+y)^2 +(x+y) -30 = 0$
Đặt $t = x + y$. Khi đó ta có
$t^2 +t – 30 = 0$
$\Leftrightarrow (t-5)(t+6) = 0$
Vậy $x + y = 5$ hoặc $x + y = -6$
TH1: $x + y = 5$
Suy ra $y = 5-x$. Thay vào phương trình đầu ta có
$x + x(5-x) + 5-x = 11$
$\Leftrightarrow -x^2 +5x -6 = 0$
$\Leftrightarrow (x-2)(x-3) = 0$
Vậy $x = 2$ hoặc $x = 3$. Suy ra $y = 3$ hoặc $y = 2$.
TH2: $x + y = -6$
Suy ra $y = -6-x$. Thay vào phương trình đầu ta có
$x + x(-6-x) -6-x = 11$
$\Leftrightarrow -x^2 -6x -17 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 + 6x + 17 = 0$
$\Leftrightarrow (x+3)^2 + 8 = 0$ (vô lý)
Vậy $S = \{(2,3), (3,2) \}$.