Giải phương trình 4x. căn (x-1)=4x^2+x-10

0 bình luận về “Giải phương trình 4x. căn (x-1)=4x^2+x-10”

1.  $ĐKXĐ : x ≥ 1$

   Ta có pt : $4x\sqrt[]{x-1} = 4x^2+x-10$

   $⇔ 4x\sqrt[]{x-1} – 8 = 4x^2+x-18$

   $⇔\dfrac{16x^2.(x-1)-64}{4x\sqrt[]{x-1} + 8} = (x-2).(4x+9)$

   $⇔ \dfrac{16x^3-16x^2-64}{4x\sqrt[]{x-1} + 8} – (x-2).(4x+9) = 0 $

   $⇔ \dfrac{16.(x^3-x^2-4)}{4.(x\sqrt[]{x-1} + 2)} -(x-2).(4x+9) =0$

   $⇔ \dfrac{4.(x^3-x^2-4)}{x\sqrt[]{x-1} + 2} -(x-2).(4x+9) = 0 $

   $⇔ \dfrac{4.(x-2).(x^2+x+2)}{x\sqrt[]{x-1} + 2} – (x-2).(4x=9) = 0 $

   $⇔ (x-2).\bigg[\dfrac{4.(x^2+x+2)}{x\sqrt[]{x-1}+2} – 4x-9\bigg] = 0$ $(*)$

   Do $x\sqrt[]{x-1} + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x \in ĐKXĐ$

   $x^2+x+2 = \bigg(x+\dfrac{1}{2}\bigg)^2 + \dfrac{7}{4} ≥ \dfrac{7}{4}>0$

   $\to 4.(x^2+x+2) ≥ 7 > 0 $

   Do đó : $\dfrac{4.(x^2+x+2)}{x\sqrt[]{x-1}+2} ≤\dfrac{7}{2}$

   $\to \dfrac{4.(x^2+x+2)}{x\sqrt[]{x-1}+2} – 9 < 0 $

   Với $x≥1$ thì $-4x < 0 $

   Nên : $\dfrac{4.(x^2+x+2)}{x\sqrt[]{x-1}}+2 – 4x-9 < 0 ∀ x \in ĐKXĐ$

   Từ $(*)$ suy ra $x-2=0 ⇔x=2$ ( Thỏa mãn )

   Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=2$

   Bình luận

2. Đặt $\sqrt[]{x-1}=t$ $(t≥0)$, ta có:

   $4(t^2+1).t=4(t^2+1)^2+t^2+1-10$

   $↔ 4t^3+4t=4(t^4+2t^2+1)+t^2-9$

   $↔ 4t^4-4t^3+4t^2-4t+5t^2-5=0$

   $↔ 4t^3(t-1)+4t(t-1)+5(t-1)(t+1)=0$

   $↔ (t-1)(4t^3+9t+5)=0$

   $↔ \left[ \begin{array}{l}t=1\\t=\dfrac{-1}{2}\end{array} \right.$

   Loại $t=\dfrac{-1}{2}$ do $t≥0$

   $→ \sqrt[]{x-1}=1$

   $↔ x-1=1$

   $↔ x=2$

   Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=2$.

    

   Bình luận