Giải Phương Trình: $x^{4}$ + $\sqrt[]{3}$ $x^{2}$ – $\sqrt[]{3}$ – 1 = 0. 04/10/2021 Bởi Aaliyah Giải Phương Trình: $x^{4}$ + $\sqrt[]{3}$ $x^{2}$ – $\sqrt[]{3}$ – 1 = 0.
Đáp án: $x=\pm1$ Giải thích các bước giải: $x^4+\sqrt{3}x^2-\sqrt{3}-1=0$ Đặt $x^2=t\,(t\ge0)$ Phương trình trở thành: $t^2+\sqrt{3}t-\sqrt{3}-1=0$ $\Delta=(\sqrt{3})^2-4(-\sqrt{3}-1)\\=3+4\sqrt{3}+4\\=7+4\sqrt{3}\\=(2+\sqrt{3})^2$ $\to t_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\sqrt{3}+\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}}{2}=\dfrac{-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{2}=1 \text{ (thoả mãn)}\\t_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\sqrt{3}-\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}}{2}=\dfrac{-2-2\sqrt{3}}{2}=-1-\sqrt{3}\text{ (loại)}$ $\to t=1\to x^2=1\to x=\pm1$ Vậy $x=\pm1$ Cách khác: Từ phương trình: $t^2+\sqrt{3}t-\sqrt{3}-1=0$ Nhẩm nghiệm: $a+b+c=1+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1=0$ $\to$ Phương trình có 2 nghiệm: $t_1=1\text{ (thoả mãn)};t_2=\dfrac{c}{a}=-1-\sqrt{3}\text{ (loại)}$ $\to t=1\to x^2=1\to x=\pm1$ Bình luận
`x^4+\sqrt{3}x^2-\sqrt{3}-1=0` `(1)` Đặt `x^2=t` `(@)` Điều kiện: `(t\geq0)` `=>t^2+t\sqrt{3}-\sqrt{3}-1=0` `Delta’=(\sqrt{3})^2-1.(-sqrt{3}-1)=4+\sqrt{3}>0` `=>sqrt{Delta}=sqrt{4+\sqrt{3}}` Do đó phương trình có `2` nghiệm phân biệt: `t_1=\frac{-\sqrt{3}+sqrt{4+\sqrt{3}}}{1}` `(TMĐK)` `t_2=\frac{-\sqrt{3}-sqrt{4+\sqrt{3}}}{1}` `(KTMĐK)` `+)` Thay `t_1=-\sqrt{3}+sqrt{4+\sqrt{3}}` vào `(@)` ta được: `x^2=-\sqrt{3}+sqrt{4+\sqrt{3}}` `<=>x=±sqrt{-\sqrt{3}+\sqrt{4+\sqrt{3}}}` Vậy khi `t=-\sqrt{3}+sqrt{4+\sqrt{3}}` thì phương trình `(1)` có nghiệm `S={±sqrt{-\sqrt{3}+\sqrt{4+\sqrt{3}}}}` Bình luận
Đáp án:
$x=\pm1$
Giải thích các bước giải:
$x^4+\sqrt{3}x^2-\sqrt{3}-1=0$
Đặt $x^2=t\,(t\ge0)$
Phương trình trở thành:
$t^2+\sqrt{3}t-\sqrt{3}-1=0$
$\Delta=(\sqrt{3})^2-4(-\sqrt{3}-1)\\=3+4\sqrt{3}+4\\=7+4\sqrt{3}\\=(2+\sqrt{3})^2$
$\to t_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\sqrt{3}+\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}}{2}=\dfrac{-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{2}=1 \text{ (thoả mãn)}\\t_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\sqrt{3}-\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}}{2}=\dfrac{-2-2\sqrt{3}}{2}=-1-\sqrt{3}\text{ (loại)}$
$\to t=1\to x^2=1\to x=\pm1$
Vậy $x=\pm1$
Cách khác:
Từ phương trình: $t^2+\sqrt{3}t-\sqrt{3}-1=0$
Nhẩm nghiệm: $a+b+c=1+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1=0$
$\to$ Phương trình có 2 nghiệm: $t_1=1\text{ (thoả mãn)};t_2=\dfrac{c}{a}=-1-\sqrt{3}\text{ (loại)}$
$\to t=1\to x^2=1\to x=\pm1$
`x^4+\sqrt{3}x^2-\sqrt{3}-1=0` `(1)`
Đặt `x^2=t` `(@)` Điều kiện: `(t\geq0)`
`=>t^2+t\sqrt{3}-\sqrt{3}-1=0`
`Delta’=(\sqrt{3})^2-1.(-sqrt{3}-1)=4+\sqrt{3}>0`
`=>sqrt{Delta}=sqrt{4+\sqrt{3}}`
Do đó phương trình có `2` nghiệm phân biệt:
`t_1=\frac{-\sqrt{3}+sqrt{4+\sqrt{3}}}{1}` `(TMĐK)`
`t_2=\frac{-\sqrt{3}-sqrt{4+\sqrt{3}}}{1}` `(KTMĐK)`
`+)` Thay `t_1=-\sqrt{3}+sqrt{4+\sqrt{3}}` vào `(@)` ta được:
`x^2=-\sqrt{3}+sqrt{4+\sqrt{3}}`
`<=>x=±sqrt{-\sqrt{3}+\sqrt{4+\sqrt{3}}}`
Vậy khi `t=-\sqrt{3}+sqrt{4+\sqrt{3}}` thì phương trình `(1)` có nghiệm `S={±sqrt{-\sqrt{3}+\sqrt{4+\sqrt{3}}}}`