Giải phương trình đối xứng gần đối xứng (1- √2) (1+sinx+cosx) = sin2x

0 bình luận về “Giải phương trình đối xứng gần đối xứng (1- √2) (1+sinx+cosx) = sin2x”

1. Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \dfrac{\pi}{4})$. Vậy $|t| \leq \sqrt{2}$ và

   $$t^2 = \sin^2x + \cos^2x + 2\sin x \cos x = 1 + \sin(2x)$$

   Vậy $\sin(2x) = t^2-1$.

   Ptrinh tương đương vs

   $(1 – \sqrt{2})(1+t) = t^2 -1$

   <->$ t^2 +(\sqrt{2}-1) t + \sqrt{2} -2 = 0$

   Ta có

   $\Delta = (\sqrt{2}-1)^2 -4(\sqrt{2}-2) = 11 – 6\sqrt{2} = (3- \sqrt{2})^2$

   Vậy 2 nghiệm của ptrinh là

   $t_1 = \dfrac{-\sqrt{2}+1 -3+ \sqrt{2}}{2} = -1, t_2 = \dfrac{-\sqrt{2}+1 + 3 – \sqrt{2}}{2} = 2 – \sqrt{2}$

   TH1: t = -1

   Ta có

   $\sin x + \cos x = -1$

   <->$ \sqrt{2} (\sin x \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \dfrac{\sqrt{2}}{2}) = -1$

   <->$\sin(x + \dfrac{\pi}{4}) = \sin(-\dfrac{\pi}{4})$

   <->$ x + \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ hoặc $x + \dfrac{\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$

   <->$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$

   TH2: $t = 2 – \sqrt{2}$

   Giải tương tự trường hợp trên ta có

   $\sin(x + \dfrac{\pi}{4}) = \sqrt{2} – 1$

   <->$x + \dfrac{\pi}{4} = \arcsin(\sqrt{2} – 1) + 2k\pi$ hoặc $x + \dfrac{\pi}{4} = \pi – \arcsin(\sqrt{2}-1) + 2k\pi$

   <->$x = \arcsin(\sqrt{2} – 1) – \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ hoặc $x = -\arcsin(\sqrt{2} – 1) – \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$

   Vậy nghiệm của ptrinh là $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ hoặc $x = \arcsin(\sqrt{2} – 1) – \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ hoặc $x = -\arcsin(\sqrt{2} – 1) – \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$

   Bình luận