Giải phương trình: $\sin^{4}3x + sin^{4}\left ( 3x + \dfrac{\pi}{4} \right ) = \dfrac{1}{4}$

0 bình luận về “Giải phương trình: $\sin^{4}3x + sin^{4}\left ( 3x + \dfrac{\pi}{4} \right ) = \dfrac{1}{4}$”

1. Đáp án:

   $ x = k\dfrac{π}{3}$

   $ x = – \dfrac{π}{12} + k\dfrac{π}{4}$

    

   Giải thích các bước giải:

   Để cho gọn đặt $: a = sin3x; b = cos3x ⇒ a² + b² = 1$

   $ 4sin^{4}(3x + \dfrac{π}{4}) = [\sqrt{2}sin(3x + \dfrac{π}{4})]^{4}$ 

   $ = (sin3x + cos3x)^{4} = (a + b)^{4} = [(a + b)²]²$

   $ = (a² + b² + 2ab)² = (1 + 2ab)² = 1 + 4ab + 4a²b²$

   Thay vào $: PT ⇔ 4a^{4} + (1 + 4ab + 4a²b²) = 1$

   $ ⇔ 4a(a³ + b + ab²) = 0$

   @ $ a = 0 ⇔ sin3x = 0 ⇔ 3x = kπ ⇔ x = k\dfrac{π}{3}$

   @ $ a³ + b + ab² = 0 ⇔ sin³3x + cos3x + sin3xcos²3x = 0 (*)$

   Nếu $ cos3x = 0 ⇔ sin3x = ± 1$ không thỏa $(*)$

   Chia 2 vế của $(*)$ cho $cos3x \neq0$ ta có :

   $ (*) ⇔ tan³3x + \dfrac{1}{cos²3x} + tan3x = 0$

   $ ⇔ tan³3x + tan²3x + tan3x + 1 = 0$

   $ ⇔ (tan3x + 1)(tan²3x + 1) = 0$

   $ ⇔ tan3x = – 1 ⇔ 3x = – \dfrac{π}{4} + kπ ⇔ x = – \dfrac{π}{12} + k\dfrac{π}{4}$

    

   Bình luận