giải phương trình $\sqrt[]{x+2}$ +$\sqrt[]{5-x}$ +$\sqrt[]{(x+2)(5-x)}$ – 4 = 0

0 bình luận về “giải phương trình $\sqrt[]{x+2}$ +$\sqrt[]{5-x}$ +$\sqrt[]{(x+2)(5-x)}$ – 4 = 0”

1. Đáp án:

   \[S = \left\{ {\dfrac{{3 + 3\sqrt 5 }}{2};\,\,\dfrac{{3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right\}\]

   Giải thích các bước giải:

    ĐKXĐ: \( – 2 \le x \le 5\)

   Đặt \(t = \sqrt {x + 2}  + \sqrt {5 – x} \,\,\,\,\left( {t > 0} \right)\), ta có:

   \(\begin{array}{l}
   {t^2} = {\left( {\sqrt {x + 2}  + \sqrt {5 – x} } \right)^2}\\
    \Leftrightarrow {t^2} = x + 2 + 2\sqrt {\left( {x + 2} \right).\left( {5 – x} \right)}  + 5 – x\\
    \Leftrightarrow {t^2} = 7 + 2\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {5 – x} \right)} \\
    \Rightarrow \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {5 – x} \right)}  = \dfrac{{{t^2} – 7}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( {t \ge \sqrt 7 } \right)
   \end{array}\)

   Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

   \(\begin{array}{l}
   t + \dfrac{{{t^2} – 7}}{2} – 4 = 0\\
    \Leftrightarrow 2t + {t^2} – 7 – 8 = 0\\
    \Leftrightarrow {t^2} + 2t – 15 = 0\\
    \Leftrightarrow \left( {t + 5} \right)\left( {t – 3} \right) = 0\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   t =  – 5\,\,\,\left( L \right)\\
   t = 3
   \end{array} \right. \Rightarrow t = 3\\
    \Rightarrow \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {5 – x} \right)}  = \dfrac{{{t^2} – 7}}{2} = 1\\
    \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {5 – x} \right) = 1\\
    \Leftrightarrow  – {x^2} + 3x + 10 = 1\\
    \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 9 = 0\\
    \Leftrightarrow x = \dfrac{{3 \pm 3\sqrt 5 }}{2}
   \end{array}\)

   Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\dfrac{{3 + 3\sqrt 5 }}{2};\,\,\dfrac{{3 – 3\sqrt 5 }}{2}} \right\}\)

   Bình luận