Giải phương trình: $\sqrt{(5-2\sqrt{6})^x}$ + $\sqrt{(5+2\sqrt{6})^x}$ = 10 18/09/2021 Bởi Brielle Giải phương trình: $\sqrt{(5-2\sqrt{6})^x}$ + $\sqrt{(5+2\sqrt{6})^x}$ = 10
Đáp án: \[\left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = – 2 \end{array} \right.\] Giải thích các bước giải: Đặt \[\sqrt {{{\left( {5 – 2\sqrt 6 } \right)}^x}} = t\left( {t > 0} \right)\] Ta có: \[\begin{array}{l} \sqrt {5 – 2\sqrt 6 } .\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } = \sqrt {\left( {5 – 2\sqrt 6 } \right).\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)} \\ = \sqrt {25 – 24} = 1\\ \Rightarrow \sqrt {5 + 2\sqrt 6 } = \frac{1}{{\sqrt {5 – 2\sqrt 6 } }}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)}^x}} = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {5 – 2\sqrt 6 } \right)}^x}} }} = \frac{1}{t} \end{array}\] Khi đó, phương trình đã cho trở thành \[\begin{array}{l} t + \frac{1}{t} = 10\\ \Leftrightarrow {t^2} + 1 = 10t\\ \Leftrightarrow {t^2} – 10t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 5 – 2\sqrt 6 \Rightarrow x = 2\\ t = 5 + 2\sqrt 6 \Rightarrow x = – 2 \end{array} \right. \end{array}\] Bình luận
Đáp án:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = – 2
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Đặt \[\sqrt {{{\left( {5 – 2\sqrt 6 } \right)}^x}} = t\left( {t > 0} \right)\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\sqrt {5 – 2\sqrt 6 } .\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } = \sqrt {\left( {5 – 2\sqrt 6 } \right).\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)} \\
= \sqrt {25 – 24} = 1\\
\Rightarrow \sqrt {5 + 2\sqrt 6 } = \frac{1}{{\sqrt {5 – 2\sqrt 6 } }}\\
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)}^x}} = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {5 – 2\sqrt 6 } \right)}^x}} }} = \frac{1}{t}
\end{array}\]
Khi đó, phương trình đã cho trở thành
\[\begin{array}{l}
t + \frac{1}{t} = 10\\
\Leftrightarrow {t^2} + 1 = 10t\\
\Leftrightarrow {t^2} – 10t + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 5 – 2\sqrt 6 \Rightarrow x = 2\\
t = 5 + 2\sqrt 6 \Rightarrow x = – 2
\end{array} \right.
\end{array}\]